#23. AC 전력 (2) - 역률이 뭐길래

지난 포스팅에서는 AC 전력의 기본적인 물리값 세 가지인 순시전력, 평균전력, 실효값을 정리했다.

#22 AC 전력 (1) - 순간전력/평균전력/실효값, 한 번에 정리

 

이때 평균전력 식에 ( \cos\theta )가 끼어드는 걸 봤다.

위상이 어긋나면 전류가 흘러도 평균전력이 줄어든다는 그 결과였다.

오늘은 그 뒷얘기다.

 

평균전력만으로는 답할 수 없는 질문이 하나 있다.

"위상이 어긋나서 사라진 그 전력은 어디로 갔을까?"

답은 안 사라졌다는 거다.

그저 "회사가 보긴 하는데 청구는 안 하는 전력"으로 따로 분류돼서 흘러다닌다.

이걸 무효전력이라 부르고, 산업 현장에서는 한국전력공사가 이걸 가지고 페널티를 매긴다.

오늘은 그 구조를 살펴본다.

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[ 두 줄 요약 ]

AC 전력은 실전력 ( P ) + 무효전력 ( Q ) + 피상전력 ( S ) 세 양으로 갈라지고, 페이저로 합치면 복소전력 ( \mathbf{S} = P + jQ )가 된다. ( \cos\theta = P/S )가 역률이다.

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순시전력에 숨겨진 두 전력

순시전력은 아래와 같이 표현할 수 있었다.

 

\( \displaystyle \begin{aligned}
p(t) &= \frac{V_m I_m}{2}\cos\theta \\
&\quad + \frac{V_m I_m}{2}\cos(2\omega t - \theta)
\end{aligned} \)

(식 1 - 순시전력의 두 항 분해)

 

순시전력이 시간에 무관한 상수항과 \( 2\omega \)로 진동하는 항으로 쪼개진다는 건 이미 봤다.

그런데 한 번 더 손을 봐야 한다.

\( \cos(2\omega t - \theta) \)를 합차 공식으로 풀면 또 두 개로 갈라진다.

 

\( \displaystyle \begin{aligned}
\cos(2\omega t - \theta) &= \cos\theta\,\cos(2\omega t) \\
&\quad + \sin\theta\,\sin(2\omega t)
\end{aligned} \)

(식 2 - 진동항 재분해)

 

이걸 식 1에 다시 넣어 정리하면 순시전력이 두 부분으로 분리된다.

\( \displaystyle \begin{aligned}
p(t) &= \tfrac{V_m I_m}{2}\cos\theta\,[1+\cos(2\omega t)] \\
&\quad + \tfrac{V_m I_m}{2}\sin\theta\,\sin(2\omega t)
\end{aligned} \)

(식 3 - 순시전력의 최종 분해)

 

그림 1 - 식 3의 두 항을 시각화: 평균전력 \( P_{\text{avg}} \)(흡수)와 \( 2\omega \) 진동항(왕복)

 

이게 핵심이다.

이 두 항이 본문 흐름의 출발점이니, 각 항을 따로 뜯어보자.

 

첫째 항 \( \frac{V_m I_m}{2}\cos\theta\,[1 + \cos(2\omega t)] \)는 항상 0 이상이다.

\( 1 + \cos(2\omega t) \)가 절대 음수가 안 되기 때문이다.

회로가 항상 흡수만 하는 전력이고, 평균을 내면 \( \frac{V_m I_m}{2}\cos\theta \)가 남는다.

이게 평균전력 \( P \), 즉 실제로 소비되는 실전력(Real Power) 이다.

 

둘째 항 \( \frac{V_m I_m}{2}\sin\theta\,\sin(2\omega t) \)는 다르다.

\( \sin(2\omega t) \)라 한 주기 평균이 정확히 0이다.

소비되는 게 아니라 회로↔전원 사이를 왕복할 뿐이다.

이 왕복하는 양의 진폭을 무효전력 \( Q \) 라고 부른다.

 

\( \displaystyle Q = \frac{V_m I_m}{2}\sin\theta = V_{\text{rms}}\, I_{\text{rms}}\, \sin\theta \)

(식 4 - 무효전력 정의)

 

단위는 W가 아니라 VAR (Volt-Ampere Reactive) 을 쓴다.

W는 "진짜 소비되는 양"에만 붙이는 게 약속이라서다.

평균적으로는 0이지만, 매 순간 전선과 전원이 서로 일을 주고받긴 한다는 뜻이다.

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무효전력 Q는 누가 만드는가

식 4의 \( \sin\theta \) 항이 핵심이다.

• \( \theta = 0 \) (저항만) → \( \sin 0 = 0 \), 무효전력 0
• \( \theta = +90^\circ \) (인덕터만) → \( \sin 90^\circ = 1 \), 무효전력 최대 양수
• \( \theta = -90^\circ \) (커패시터만) → \( \sin(-90^\circ) = -1 \), 무효전력 최대 음수

여기서 부호의 의미가 갈린다.

인덕터는 \( Q > 0 \), 자기장에 에너지를 쟁여놨다 돌려준다.

커패시터는 \( Q < 0 \), 전기장에 에너지를 쟁여놨다 돌려준다.

커패시터와 인덕터 포스팅에서 본 "에너지 저장 후 반환" 그 거동이 \( Q \)라는 양으로 다시 나온 셈이다.

 

#12. 커패시터(Capacitor) - 전하 저장소

 

#13. 인덕터(Inductor) - 자기장 저장소

 

둘 다 평균적으로는 0이지만, 부호로 서로를 상쇄할 수 있다.

이게 뒤에 나올 역률 보상의 핵심 원리다.

인덕터의 \( +Q \)를 커패시터의 \( -Q \)로 깎아내는 거다.

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피상전력 S : 전선이 견뎌야 하는 양

이제 또 하나의 양이 필요하다.

발전소 입장에서, 전선이 실제로 운반해야 하는 전력은 \( P \)일까 \( Q \)일까?

답은 둘 다 합한 양이다.

\( P \)든 \( Q \)든 전선에는 똑같이 전류가 흐른다.

전선과 차단기는 그 전류 진폭을 견뎌야 한다.

이걸 한 번에 묶은 양이 피상전력(Apparent Power) \( S \) 다.

\( \displaystyle S = V_{\text{rms}}\, I_{\text{rms}} \)

(식 5 - 피상전력 정의)

단위는 VA (Volt-Ampere) 다.

\( \cos\theta \)나 \( \sin\theta \) 같은 보정 항 없이, 그냥 전압 RMS 곱하기 전류 RMS다.

전압·전류만 알면 곧바로 나온다.

전기설비 정격은 거의 다 VA(또는 kVA, MVA)로 표기된다.

변압기 용량 "1000 kVA"라 적힌 건, 그 변압기가 \( V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \) 곱이 1000 kVA를 넘지 않는 한 견딘다는 뜻이다.

부하의 역률이 1이든 0.5든 변압기는 그 곱만 본다.

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복소전력 S = P + jQ : 하나로 다 묶기

\( P \), \( Q \), \( S \) 세 개를 따로따로 외우려니 귀찮다.

페이저를 쓰면 하나의 복소수로 깔끔하게 묶인다.

페이저에서 본 방식이다.

#19 페이저(Phasor) - 미분방정식이 곱셈으로 바뀌는 마법

 

사인파를 복소수 한 점으로 표현했던 그 트릭이 전력에서도 그대로 통한다.

이 양을 복소전력(Complex Power) 이라 하고, 정의는 다음과 같다.

 

\( \displaystyle \mathbf{S} = \mathbf{V}_{\text{rms}}\, \mathbf{I}_{\text{rms}}^{*} \)

(식 6 - 복소전력 정의)

 

여기서 \( \mathbf{I}_{\text{rms}}^{*} \)는 전류 페이저의 켤레복소수다.

 

Step 1. 왜 켤레를 쓰는지부터 짚자.

전압과 전류 페이저를 다음과 같이 두자.

\( \mathbf{V}_{\text{rms}} = V_{\text{rms}}\angle 0 \)

\( \mathbf{I}_{\text{rms}} = I_{\text{rms}}\angle(-\theta) \)

(전압이 전류보다 \( \theta \)만큼 앞섰다는 가정)

 

Step 2. 켤레를 취하면 위상 부호가 뒤집힌다.

\( \mathbf{I}_{\text{rms}}^{*} = I_{\text{rms}}\angle(+\theta) \)

 

Step 3. 곱해보면

\( \displaystyle \begin{aligned}
\mathbf{S} &= V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}\, e^{j\theta} \\
&= V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}\cos\theta + j V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}\sin\theta \\
&= P + jQ
\end{aligned} \)

(식 7 - 복소전력 = P + jQ)

 

실수부가 정확히 \( P \), 허수부가 정확히 \( Q \)다.

크기는 \( |\mathbf{S}| = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} = S \), 즉 피상전력이다.

위상각은 \( \theta \), 즉 전압-전류 위상차 그 자체다.

페이저를 알고 있으면 곱셈 한 번으로 \( P \), \( Q \), \( S \), \( \theta \) 네 양을 다 뽑아낸다.

만약 켤레를 안 쓰고 그냥 \( \mathbf{V}\,\mathbf{I} \)를 곱했다면 위상각이 \( -\theta \)로 뒤집혀 부호가 안 맞는다.

전류 켤레를 쓰는 이유가 그것 하나다.

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전력 삼각형 : 셋의 관계를 그림으로

\( \mathbf{S} = P + jQ \)라는 복소수를 복소평면에 그리면 그대로 직각삼각형이 된다.

 

그림 2 - 전력 삼각형: P, Q, S와 위상각 θ

 

가로 \( P \), 세로 \( Q \), 빗변 \( S \).

피타고라스 정리가 그대로 성립한다.

 

\( \displaystyle S^2 = P^2 + Q^2 \)

(식 8 - 전력 삼각형의 피타고라스)

 

그리고 빗변과 가로변이 이루는 각이 위상차 \( \theta \)다.

 

\( \displaystyle \cos\theta = \frac{P}{S} \)

(식 9 - 역률 정의)

 

이 비율을 역률(Power Factor) 이라 부른다.

기호로는 \( \mathrm{PF} \) 또는 그냥 \( \cos\theta \).

값은 0~1 사이다.

 

여기까지 정리하면 아래 표 한 장으로 끝난다.

 

양	단위	의미
실전력 \( P \)	W	회로가 실제로 소비하는 전력 (열·일)
무효전력 \( Q \)	VAR	회로↔전원 왕복만 하는 전력
피상전력 \( S \)	VA	전선이 운반하는 \( V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \)
역률 \( \cos\theta \)	—	\( P/S \), 1에 가까울수록 효율적

(표 1 - AC 전력의 4대 양)

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역률 보상 : 한전이 페널티 매기는 이유

공장에 큰 모터가 잔뜩 있다고 하자.

모터는 인덕성 부하라 \( Q > 0 \)을 잔뜩 만들어낸다.

같은 \( P \)를 소비하는데 \( Q \)가 크면 어떻게 되는가?

\( S = \sqrt{P^2 + Q^2} \)가 같이 커진다.

피상전력이 커진다는 건 같은 일을 시키면서 더 많은 전류를 끌어다 쓴다는 뜻이다.

전선·차단기·변압기 다 더 큰 걸 써야 하고, 송전 손실 전력은 \( I^2 R \) 형태라 전류 제곱에 비례해 늘어난다.

#11. 전력과 전력량 - 파워(Power)와 에너지(Energy)

 

이걸 발전소가 떠안는다.

그래서 한국전력은 산업용·일반용 고압 수용가에 역률 페널티를 매긴다.

• 지각역률(인덕성, \( Q>0 \))이 0.9 미만 → 미달분만큼 기본요금 가산
• 진상역률(용량성, \( Q<0 \))이 0.95 미만 → 가산

기본 원리는 둘 다 같다.

"\( P \) 대비 \( Q \)가 너무 크면 우리(한전) 부담이니 추가로 받겠다"는 거다.

해법은 단순하다.

인덕성 부하의 \( +Q \)를 상쇄할 만큼 커패시터 뱅크를 병렬로 달아 \( -Q \)를 만들어주면 된다.

그러면 합성 \( Q \)가 줄고, \( S \)가 줄고, 역률이 1에 가까워진다.

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예제 : 보상 커패시터 용량

다음 조건의 공장 부하를 보자.

• 실전력 \( P = 100\,\mathrm{kW} \)
• 현재 역률 \( \cos\theta_{\text{old}} = 0.7 \) (인덕성)
• 목표 역률 \( \cos\theta_{\text{new}} = 0.95 \)

Step 1. 현재 무효전력과 피상전력을 구한다.

\( \theta_{\text{old}} = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.57^\circ \) 이므로,

 

\( \displaystyle Q_{\text{old}} = P\,\tan\theta_{\text{old}} = 100 \times 1.0202 \approx 102.0\,\mathrm{kVAR} \)

(식 10 - 현재 무효전력)

 

\( \displaystyle S_{\text{old}} = \frac{P}{\cos\theta_{\text{old}}} = \frac{100}{0.7} \approx 142.9\,\mathrm{kVA} \)

(식 11 - 현재 피상전력)

 

\( P=100\,\mathrm{kW} \)밖에 안 쓰는 공장이 전선으로는 142.9 kVA 어치를 끌어다 쓰고 있다는 얘기다.

 

Step 2. 목표 역률에서의 무효전력을 구한다.

\( \theta_{\text{new}} = \cos^{-1}(0.95) \approx 18.19^\circ \) 이므로,

 

\( \displaystyle Q_{\text{new}} = P\,\tan\theta_{\text{new}} = 100 \times 0.3287 \approx 32.9\,\mathrm{kVAR} \)

(식 12 - 목표 무효전력)

 

Step 3. 필요한 커패시터 용량은 둘의 차이다.

\( \displaystyle Q_C = Q_{\text{old}} - Q_{\text{new}} \approx 102.0 - 32.9 = 69.1\,\mathrm{kVAR} \)

(식 13 - 보상에 필요한 커패시터 용량) ★

 

이 공장은 약 70 kVAR짜리 커패시터 뱅크를 병렬로 달면 된다.

그러면 새 피상전력은

\( \displaystyle S_{\text{new}} = \frac{100}{0.95} \approx 105.3\,\mathrm{kVA} \)

가 되어, 142.9 kVA에서 105.3 kVA로 줄어든다.

전선·변압기·차단기 모두 같이 작아져도 된다는 뜻이다.

한전 페널티는 사라지고, 회사 입장에서는 기본요금이 줄고 설비 투자도 절약된다.

 

이것으로 오늘의 포스팅 끝~