#24. 최대 전력 전달 (AC) - 부하를 어떻게 잡아야 가장 많이 받을까

지난 포스팅에서는 AC 전력의 4대 양(실전력 \( P \), 무효전력 \( Q \), 피상전력 \( S \), 역률 \( \cos\theta \))과 복소전력 \( \mathbf{S} = P + jQ \)를 정리했다.

#23. AC 전력 (2) - 역률이 뭐길래

 

오늘은 시야를 한 단계 위로 올린다.

 

스피커에 앰프를 연결하는 상황을 생각해보자.

앰프가 똑같은 신호를 내보내는데, 어떤 스피커는 우렁차게 울리고 어떤 스피커는 답답하게 들린다.

스피커의 임피던스가 앰프와 안 맞기 때문이다.

 

휴대폰 안테나도 마찬가지다.

같은 안테나라도 어떤 회로에 물리느냐에 따라 신호를 잘 빨아들이기도 하고, 흘려버리기도 한다.

 

이런 현상의 뿌리에 최대 전력 전달 정리(Maximum Power Transfer Theorem) 가 있다.

질문은 단순하다.

"부하를 어떻게 잡아야 가장 많은 전력을 받을 수 있을까?"

답을 미리 말하면, \( \mathbf{Z}_L = \mathbf{Z}_{th}^{*} \) 다.

부하 임피던스를 테브난 임피던스의 켤레복소수로 잡으면 된다.

이걸 켤레 정합(Conjugate Match) 이라고 부른다.

이 한 줄이 어디서 왔는지를 오늘 풀어본다.

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[ 두 줄 요약 ]

AC 회로에서 부하 평균전력 \( P_L \)이 최대가 되려면 부하 임피던스를 테브난 임피던스의 켤레복소수로 잡아야 한다.

즉 \( \mathbf{Z}_L = \mathbf{Z}_{th}^{*} \)이고, 이때 \( P_{max} = |\mathbf{V}_{th}|^2 / (8 R_{th}) \)다.

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문제 설정

문제를 간단히 만들기 위해 회로의 임의의 테브난 등가회로를 떠올려보자.

#7. 테브난/노턴 등가회로 - 위정척사

 

테브난 등가회로는 아무리 복잡한 회로도 전압원 하나(\( \mathbf{V}_{th} \))와 임피던스 하나(\( \mathbf{Z}_{th} \))로 압축해주는 도구다.

그림 1 - 테브난 등가회로와 부하 \( \mathbf{Z}_L \)

 

회로 일부를 테브난 등가로 줄이고, 단자 a-b에 부하 \( \mathbf{Z}_L \)을 매단 상황이다.

테브난 임피던스를 다음과 같이 두자.

 

\( \displaystyle \mathbf{Z}_{th} = R_{th} + jX_{th} \)

(식 1 - 테브난 임피던스)

 

부하 임피던스도 똑같이 실수부와 허수부로 분해한다.

 

\( \displaystyle \mathbf{Z}_L = R_L + jX_L \)

(식 2 - 부하 임피던스)

 

부하에 흐르는 전류 페이저는 옴의 법칙으로 곧바로 나온다.

 

\( \displaystyle \mathbf{I}_L = \frac{\mathbf{V}_{th}}{\mathbf{Z}_{th} + \mathbf{Z}_L} \)

(식 3 - 부하 전류)

 

부하의 평균전력은 AC 전력 (2)에서 본 대로 다음과 같다.

#23. AC 전력 (2) - 역률이 뭐길래

 

\( \displaystyle P_L = \tfrac{1}{2}|\mathbf{I}_L|^2 R_L \)

(식 4 - 부하 평균전력)

 

저항 부분에서만 실제 소비가 일어나므로 \( R_L \)만 곱해진다는 점이 핵심이다.

리액턴스 \( X_L \)은 평균적으로 전력을 소비하지 않으니 식에 안 들어간다.

식 3을 식 4에 대입해 정리하면,

 

\( \displaystyle P_L = \frac{|\mathbf{V}_{th}|^2 \, R_L}{2\,[(R_L + R_{th})^2 + (X_L + X_{th})^2]} \)

(식 5 - 부하 평균전력의 일반형)

 

이 식 하나가 오늘 글의 출발점이자 모든 답이 들어 있는 식이다.

\( P_L \)을 최대화하기 위해 우리가 조정할 수 있는 변수는 두 개다.

\( R_L \)과 \( X_L \).

순서대로 처리하자.

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1단계 : 리액턴스부터 잡는다

식 5의 분모를 보자.

\( \displaystyle (R_L + R_{th})^2 + (X_L + X_{th})^2 \)

분모는 작을수록 \( P_L \)이 커진다.

그런데 두 제곱항 중 \( (X_L + X_{th})^2 \)는 부호 자유로운 양이다.

\( X_L \)을 음수로 잡으면 \( X_{th} \)와 상쇄될 수 있다.

극단적으로 \( X_L = -X_{th} \)로 두면 이 항이 정확히 0이 된다.

 

\( \displaystyle X_L = -X_{th} \)

(식 6 - 리액턴스 정합 조건)

 

이게 첫 번째 결과다.

부하 리액턴스를 테브난 리액턴스의 부호 반대로 잡으면 분모의 두 번째 항이 사라진다.

물리적으로 보면 명확하다.

 

\( X_{th} > 0 \) (인덕성)이면 \( X_L < 0 \) (용량성), 즉 커패시터로 상쇄.

\( X_{th} < 0 \) (용량성)이면 \( X_L > 0 \) (인덕성), 즉 인덕터로 상쇄.

두 리액턴스가 직렬로 만나 서로 잡아먹는 거다.

이전 포스팅에서 살펴본 본 역률 보상의 회로 버전이라 보면 된다.

이 조건 아래에서 식 5는 다음과 같이 단순해진다.

 

\( \displaystyle P_L = \frac{|\mathbf{V}_{th}|^2 \, R_L}{2\,(R_L + R_{th})^2} \)

(식 7 - 리액턴스 정합 후 P_L)

 

이제 변수가 \( R_L \) 하나로 줄었다.

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2단계 : 저항을 결정한다

식 7을 \( R_L \)에 대해 미분해서 0이 되는 지점을 찾자.

 

\( \displaystyle \frac{dP_L}{dR_L} = \frac{|\mathbf{V}_{th}|^2}{2} \cdot \frac{(R_L + R_{th})^2 - R_L \cdot 2(R_L + R_{th})}{(R_L + R_{th})^4} \)

(식 8 - P_L의 R_L 미분)

 

분자만 0이면 된다.

\( \displaystyle (R_L + R_{th})^2 = 2 R_L (R_L + R_{th}) \)

양변을 \( (R_L + R_{th}) \)로 나누면,

 

\( \displaystyle R_L + R_{th} = 2 R_L \quad \Rightarrow \quad R_L = R_{th} \)

(식 9 - 저항 정합 조건)

 

부하 저항을 테브난 저항과 같게 잡으면 \( P_L \)이 최대가 된다.

그림 2 - \( X_L = -X_{th} \) 고정 시 \( R_L \)에 따른 \( P_L \) 변화

 

그림을 보면 직관이 살아난다.

\( R_L \)이 너무 작으면 전류는 크지만 부하에 걸리는 전압이 작아 \( P_L \)이 작다.

\( R_L \)이 너무 크면 부하 전압은 크지만 전류가 작아 또 \( P_L \)이 작다.

딱 \( R_L = R_{th} \)일 때 둘의 곱이 최대다.

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결론 : 켤레 정합

식 6과 식 9를 합치면 한 줄로 떨어진다.

 

\( \displaystyle \mathbf{Z}_L = R_{th} - jX_{th} = \mathbf{Z}_{th}^{*} \)

(식 10 - 켤레 정합 조건)

 

부하 임피던스를 테브난 임피던스의 켤레복소수로 잡는다.

이게 AC 최대 전력 전달 정리다.

영문으로 Conjugate Match Condition 이라 부르고, 무선통신·RF 회로 설계의 절대 명령이다.

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최대 전력값

켤레 정합을 적용하면 식 5가 어떻게 단순해질까.

\( R_L = R_{th} \), \( X_L + X_{th} = 0 \)을 식 5에 대입한다.

 

\( \displaystyle P_{max} = \frac{|\mathbf{V}_{th}|^2 \, R_{th}}{2\,(2 R_{th})^2} = \frac{|\mathbf{V}_{th}|^2}{8 R_{th}} \)

(식 11 - 최대 부하 평균전력)

 

분모에 8이 떡 박힌다.

이 8이 어디서 왔는지 풀어두면 외우기 쉽다.

분모 \( (R_L + R_{th})^2 = (2R_{th})^2 = 4R_{th}^2 \)에서 4가 나오고, 식 4·식 5 앞의 \( \frac{1}{2} \) 인수에서 2가 곱해져 8이 된다.

\( \frac{1}{2} \) 인수는 AC 전력 (1) 포스팅에서 봤듯이 진폭 \( V_m \)으로 표기할 때 따라오는 양이다.

#22 AC 전력 (1) - 순간전력/평균전력/실효값, 한 번에 정리

 

만약 \( V_{th} \)를 RMS 값으로 표기하면 분모가 \( 4 R_{th} \)가 된다.

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효율은 50%

켤레 정합 시 부하가 받아가는 전력은 분명히 최대다.

그런데 이때 효율은 어떨까?

 

전원이 내놓는 총 전력은 \( P_{th} + P_L \)이고, 부하에 가는 건 \( P_L \)이다.

켤레 정합 시 \( R_L = R_{th} \)이므로 두 저항에 같은 전류가 흘러 같은 양의 전력을 소비한다.

즉 효율은 정확히 50%다.

 

전원이 내놓은 전력의 절반은 \( R_{th} \)에서 열로 사라지고, 나머지 절반만 부하로 간다.
"최대 전력 전달"이지 "최대 효율 전달"이 아니라는 점이 함정이다.
이 둘은 완전히 다른 문제다.

 

목표	조건	효율
부하 전력 최대	\( \mathbf{Z}_L = \mathbf{Z}_{th}^{*} \)	50%
효율 최대	\( \mathbf{Z}_L \to \infty \)	100% (단, \( P_L \to 0 \))

(표 1 - 최대 전력 vs 최대 효율)

 

발전소 송전망이 효율을 따지지 부하 전력 최대를 따지지 않는 이유다.

송전 손실을 줄이려면 부하 임피던스가 송전선 임피던스보다 훨씬 커야 한다.

반대로 안테나가 받는 미약한 신호를 모두 끌어와야 하는 RF 통신에서는 효율보다 전력 자체가 중요해 켤레 정합을 쓴다.

처음에 얘기한 스피커-앰프 매칭이 바로 이 얘기다.

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마무리

오늘은 AC 회로의 최대 전력 전달 조건을 유도했다.

핵심은 단 한 줄.

부하 임피던스를 테브난 임피던스의 켤레복소수로 잡는다.

\( \mathbf{Z}_L = \mathbf{Z}_{th}^{*} \).

이때 \( P_{max} = |\mathbf{V}_{th}|^2 / (8 R_{th}) \)이고 효율은 50%다.

 

오늘의 포스팅 끝~