#21. AC 정상상태 회로해석 - DC 풀던 대로, 복소수만 쓰면 끝

지난 두 글에서 페이저와 임피던스를 다뤘다.

페이저는 사인파를 복소수로 변환하는 도구였고, 임피던스는 페이저 영역에서의 일반화된 저항이었다.

#19 페이저(Phasor) - 미분방정식이 곱셈으로 바뀌는 마법

#20 임피던스와 어드미턴스 - 저항/인덕터/커패시터를 Z 하나로

 

이번 글은 그 도구들을 들고, 실제 AC 회로를 끝까지 풀어내는 절차를 정리하는 자리다.

스포일러를 먼저 던진다.

AC 정상상태 회로해석은 DC 회로해석과 절차가 100% 똑같다.

KVL, KCL, 노드해석, 메쉬해석, 중첩의 원리, 테브난 등가회로 — 학부 1학년 때 배운 모든 기법이 그대로 통한다.

차이는 단 하나, 모든 양이 실수가 아니라 복소수라는 점뿐이다.

그래서 이번 글은 새로 배우는 게 아니라, 이미 아는 것을 페이저 영역에 옮겨놓는 작업이다.

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[ 두 줄 요약 ]

AC 정상상태 회로해석은 ① 모든 사인파를 페이저로, ② 모든 소자를 임피던스로 바꾼 뒤, ③ DC 회로해석 기법을 그대로 적용해 미지 페이저를 풀고, ④ 마지막에 시간영역으로 역변환하면 끝난다.

새로 배울 기법은 없고, 복소수 사칙연산만 익숙하면 된다.

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시간영역에서 페이저 영역으로 — 한 장 그림 요약

먼저 큰 그림부터 보자.

그림 1 - 시간영역 회로와 페이저 영역 회로의 대응

 

왼쪽은 시간영역 회로다.

전원이 사인파로 출렁이고, 미분방정식이 줄줄이 따라붙는다.

이걸 직접 풀려면 2계 미분방정식 풀이를 동원해야 한다.

[수학] 2계 미분방정식과 특성방정식 - 근의 공식 이용

 

오른쪽은 같은 회로를 페이저 영역으로 옮긴 모습이다.

전원은 복소수 \( \mathbf{V} = V_m \angle \phi \), 소자는 임피던스 \( R, j\omega L, 1/(j\omega C) \)로 바뀌었다.

미분방정식이 통째로 사라지고, 복소수 일차방정식 하나만 남는다.

이게 페이저가 만든 마법이다.

이제 이 변환과 풀이를 단계별로 정리하자.

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AC 정상상태 회로해석 5단계 절차

그림 2 - AC 정상상태 회로해석 5단계 절차 흐름도

 

순서대로 한 단계씩 본다.

① 모든 사인파를 페이저로 변환

회로 안의 모든 시간 함수 사인파를, 진폭과 위상만 가진 복소수로 바꾼다.

 

\( \displaystyle v(t) = V_m \cos(\omega t + \phi) \;\to\; \mathbf{V} = V_m \angle \phi \)

(식 1 - 사인파의 페이저 변환)

 

여기서 한 가지 주의할 점.

모든 사인파를 \( \cos \) 기준으로 통일해야 한다.

\( \sin \)으로 표현된 게 있으면 \( \sin \theta = \cos(\theta - 90^{\circ}) \)을 써서 \( \cos \)으로 먼저 바꾼 뒤 페이저로 옮긴다.

기준이 섞이면 위상 계산이 다 꼬인다.

② 모든 소자를 임피던스로 변환

지난 글에서 정리한 대로다.

 

\( \displaystyle R \;\to\; R \)

\( \displaystyle L \;\to\; j\omega L \)

\( \displaystyle C \;\to\; \frac{1}{j\omega C} \)

(식 2 - R·L·C의 임피던스 변환)

 

이 시점에서 회로도는 외관상 DC 회로처럼 보인다.

L과 C 자리에 복소수 임피던스 값이 적힌 저항처럼 자리잡을 뿐이다.

③ DC 회로해석 기법을 그대로 적용

여기가 핵심이다.

DC 시절 배웠던 모든 회로해석 도구가 페이저 영역에서 그대로 통한다.

• 옴의 법칙: \( \mathbf{V} = \mathbf{Z}\, \mathbf{I} \)
• KVL: 폐루프 전압 페이저의 합 = 0
• KCL: 노드 전류 페이저의 합 = 0
• 직렬 합성: \( \mathbf{Z}_{\text{series}} = \mathbf{Z}_1 + \mathbf{Z}_2 + \cdots \)
• 병렬 합성: \( \mathbf{Y}_{\text{parallel}} = \mathbf{Y}_1 + \mathbf{Y}_2 + \cdots \)
• 분압·분류 법칙, 노드해석, 메쉬해석, 중첩의 원리, 테브난·노턴 등가회로

전부 그대로다.

수식 형태도 토씨 하나 안 바뀐다.

차이는 변수가 실수에서 복소수로 바뀐 것뿐.

④ 미지 페이저 풀기

세운 일차방정식을 푼다.

복소수 사칙연산만 하면 된다.

크기와 위상을 따로 계산할 일이 자주 생기므로, 직교형(\( a + jb \))과 극형(\( r \angle \theta \))을 자유롭게 오갈 수 있어야 편하다.

직교형 ↔ 극형 변환은 다음과 같다.

 

\( \displaystyle \begin{aligned} a + jb &= \sqrt{a^2 + b^2} \\[4pt] &\quad \angle\, \tan^{-1}\!\left(\frac{b}{a}\right) \end{aligned} \)

(식 3 - 직교형 → 극형 변환)

 

\( \displaystyle r \angle \theta = r\cos\theta + j\, r\sin\theta \)

(식 4 - 극형 → 직교형 변환)

 

덧셈·뺄셈은 직교형이, 곱셈·나눗셈은 극형이 편하다.

⑤ 시간영역으로 역변환

마지막 단계는 페이저를 다시 사인파로 되돌리는 것이다.

\( \displaystyle \mathbf{I} = I_m \angle \theta \;\to\; i(t) = I_m \cos(\omega t + \theta) \)

(식 5 - 페이저의 시간영역 역변환)

 

여기서 주의.

역변환 시 주파수 \( \omega \)는 회로 머리에 메모해뒀던 그 값을 다시 끼워 넣는다.

페이저 식 안에는 \( \omega \)가 없었으니까.

그리고 ①에서 \( \cos \) 기준으로 통일했으므로, ⑤에서도 \( \cos \) 형태로 답을 쓰는 게 맞다.

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직접 풀어보기 — 직렬 RL 회로 예제

말로만 하면 와닿지 않으니 간단한 예제를 풀어본다.

그림3 - 직렬 RL 회로 예제

 

문제: 저항 \( R = 4\,\Omega \)와 인덕터 \( L = 10\,\mathrm{mH} \)가 직렬로 연결된 회로에 \( v_s(t) = 10\cos(500t)\,\mathrm{V} \)가 인가된다. 정상상태에서 흐르는 전류 \( i(t) \)는?

각 단계를 그대로 따라가자.

① 페이저 변환

\( \mathbf{V}_s = 10 \angle 0^{\circ}\,\mathrm{V} \)

각주파수 \( \omega = 500\,\mathrm{rad/s} \)는 따로 메모해둔다.

② 임피던스 변환

\( \mathbf{Z}_R = R = 4\,\Omega \)

\( \mathbf{Z}_L = j\omega L = j(500)(0.01) = j5\,\Omega \)

③ KVL 적용 (직렬 합성)

\( \displaystyle \mathbf{Z}_{\text{total}} = \mathbf{Z}_R + \mathbf{Z}_L = 4 + j5\,\Omega \)

극형으로 바꾸면 다음과 같다.

\( \displaystyle |\mathbf{Z}_{\text{total}}| = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41} \approx 6.40\,\Omega \)

\( \displaystyle \theta_Z = \tan^{-1}\!\left(\frac{5}{4}\right) \approx 51.3^{\circ} \)

\( \mathbf{Z}_{\text{total}} \approx 6.40 \angle 51.3^{\circ}\,\Omega \)

④ 미지 페이저 풀기

옴의 법칙을 그대로 쓴다.

\( \displaystyle \mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}s}{\mathbf{Z}{\text{total}}} = \frac{10 \angle 0^{\circ}}{6.40 \angle 51.3^{\circ}} \)

극형 나눗셈은 크기는 나누고, 위상은 빼면 된다.

\( \displaystyle \mathbf{I} \approx 1.56 \angle -51.3^{\circ}\,\mathrm{A} \)

⑤ 시간영역 역변환

페이저 \( \mathbf{I} = 1.56 \angle -51.3^{\circ} \)를 \( \omega = 500 \)으로 되돌리면 끝이다.

\( \displaystyle i(t) = 1.56 \cos(500t - 51.3^{\circ})\,\mathrm{A} \)

(식 6 - 정상상태 전류 시간영역 표현)

전류가 전압보다 \( 51.3^{\circ} \)만큼 뒤지는 결과가 나왔다.

회로에 인덕터가 들어 있으니 전류가 뒤지는 게 맞다(L에서 전류는 천천히 자란다).

물리 직관도 맞고, 계산도 깔끔하다.

이게 시간영역에서 직접 미분방정식을 풀었다면 한 페이지 가득 채웠을 작업이다.

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자주 마주치는 함정 3가지

5단계 자체는 기계적이지만, 처음 풀 땐 같은 데서 자꾸 막힌다.

 

함정 1. \( \sin \)과 \( \cos \) 혼용

기준을 \( \cos \)으로 정했으면 끝까지 \( \cos \)으로 가야 한다.

문제에서 사인파가 \( \sin \)으로 주어졌다면, 페이저로 옮기기 전에 반드시 \( \cos(\theta - 90^{\circ}) \)로 바꾸자.

 

함정 2. 단위 — 라디안 vs 도(degree)

페이저 식에서 \( j\omega \) 안의 \( \omega \)는 \( \mathrm{rad/s} \) 단위다.

문제에서 주파수가 Hz로 주어지면 \( \omega = 2\pi f \)로 먼저 변환해야 한다.

반면 페이저 위상 \( \angle \theta \)는 결과를 도(degree)로 표기하는 관행이 일반적이다.

같은 식 안에서 라디안과 도가 섞이면 안 된다.

 

함정 3. 정상상태가 아닌 경우

페이저 해석은 정상상태(steady-state) 응답만 다룬다.

전원이 켜진 직후의 과도응답(transient)은 안 잡힌다.

문제가 "회로가 켜지고 충분히 시간이 지난 후" 또는 "정상상태에서"라는 단서를 줄 때만 페이저로 풀 수 있다.

과도응답까지 보고 싶으면 라플라스 변환이나 시간영역 미분방정식 풀이로 가야 한다.

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한눈에 보는 대응표

표로 한 번에 정리하면 아래와 같다.

DC 회로	AC 정상상태 (페이저 영역)
저항 \( R \)	임피던스 \( \mathbf{Z} = R + jX \)
컨덕턴스 \( G = 1/R \)	어드미턴스 \( \mathbf{Y} = G + jB \)
옴의 법칙 \( V = IR \)	\( \mathbf{V} = \mathbf{Z}\,\mathbf{I} \)
KVL: \( \sum V = 0 \)	KVL: \( \sum \mathbf{V} = 0 \)
KCL: \( \sum I = 0 \)	KCL: \( \sum \mathbf{I} = 0 \)
직렬: \( R_{\text{total}} = \sum R \)	직렬: \( \mathbf{Z}_{\text{total}} = \sum \mathbf{Z} \)
병렬: \( 1/R_{\text{total}} = \sum 1/R \)	병렬: \( \mathbf{Y}_{\text{total}} = \sum \mathbf{Y} \)
모든 양이 실수	모든 양이 복소수

(표 1 - DC 회로해석과 AC 페이저 회로해석의 1:1 대응)

 

표를 옆에 두고 한 번 풀어보면, 이미 아는 거였다는 걸 바로 깨닫게 된다.

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마무리

이번 글의 결론은 단순하다.

AC 정상상태 회로해석에서 새로 배울 건 없다.

5단계 절차는 결국 "DC 회로해석을 페이저 영역에서 한 번 더 한다"는 의미다.

정작 시간이 드는 부분은 회로 풀이 자체가 아니라, 복소수 계산이 손에 익는 것이다.

극형·직교형 변환을 빠르게 오가는 연습 몇 번이면 충분하다.

다음 글에서는 이 도구를 들고 AC 전력으로 들어간다.

순간 전력, 평균 전력, 무효 전력, 복소 전력.

페이저가 있어서 그제야 깔끔하게 정의되는 양들이다.

역률(power factor)이 왜 중요한지, 한국 전력공사가 왜 무효 전력에 페널티를 매기는지도 거기서 풀린다.