#18. RLC 회로의 완전응답/계단응답 - 강제응답과 자연응답의 콜라보

지난 포스팅에서는 특성방정식의 근의 형태에 따라 RLC 회로 응답이 세 가지 유형으로 나뉜다는 것까지 확인했다.

 

#17. RLC 회로 (2) - 감쇠 삼형제

 

그런데 거기서 다룬 건 어디까지나 자연응답, 즉 회로 안에 이미 에너지가 저장된 상태에서 입력 없이 혼자 죽어가는 응답이었다.

(추가적인 전원이 없는 초기값에 따른 응답만 살펴본 것이었다.)

 

만약 스위치를 탁 눌러서 순간적으로 전원이 인가된다면 어떤 응답이 나올까?

 

결론적으로는 외부 전원에 의한 순간적인 강제 응답이 발생한다.

 

오늘은 그 순간을 다룬다.

 

t=0에서 직류 전압 \( V_s \)를 딱 인가했을 때, RLC 회로가 어떻게 반응하는지, 즉, 계단응답(step response)을 구해보겠다.

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[ 한 줄 요약]

완전응답 = 자연응답 + 강제응답(정상상태응답).

 

스위치를 켜는 순간, 회로 안에는 두 가지 응답이 동시에 일어난다.

 

자연응답(natural response)은 회로 자체의 성질에서 나오는 응답이다.

외부 입력이 없어도, 커패시터에 전하가 있거나 인덕터에 전류가 흐르고 있으면 회로는 혼자 뭔가를 한다.

그 "혼자 하는 것"이 자연응답이다.

지수적으로 감쇠하거나, 진동하면서 감쇠하거나 — 어떤 형태든 결국 에너지를 소진하면서 0으로 꺼진다.

 

강제응답(forced response)은 외부에서 억지로 밀어 넣는 입력에 의한 응답이다.

직류 전압 \( V_s \)를 인가한다는 건, 회로에 "너 이제부터 여기 맞춰"라고 강제하는 셈이다.

충분한 시간이 지나면 회로는 결국 이 강제 입력에 맞는 상태로 정착한다.

이걸 정상상태응답(steady-state response)이라고도 부른다.

완전응답은 이 둘의 합이다.

 

\( \displaystyle v_C(t) = \underbrace{v_n(t)}_{\text{자연응답}} + \underbrace{v_f(t)}_{\text{강제응답(정상상태)}} \)

(식 1 - 완전응답의 구조)

 

시간이 아주 많이 흐르면 어떻게 될까?

자연응답은 지수 감쇠 성분이 포함돼 있어서 결국 0으로 사라진다. 남는 건 강제응답뿐이다. 그래서 \( t \to \infty \)의 응답 = 정상상태응답이 된다.

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계단응답(Step Response)이란?

RL, RC 회로에서 시정수를 다루며 계단응답이라는 개념을 한 번 봤을 것이다.

갑자기 일정한 입력(계단 함수)이 들어왔을 때의 응답이다.

 

아래의 직 RLC 회로에서 스위치가 t=0에서 닫혔을 때의 계단 응답을 살펴보자.

그림 1 - 직렬 RLC 계단응답 회로

t=0에서 스위치가 닫혀 직류 전압 \( V_s \)가 인가되면, 회로는 새로운 정상상태를 향해 움직인다.

1차 회로처럼 단순한 지수함수 수렴이 아니다.

2차 회로는 근의 형태에 따라 세 가지 응답이 나온다.

초기 조건은 \( v_C(0) = 0 \), \( i_L(0) = 0 \)으로 놓는다.

즉, 스위치가 닫히기 전 커패시터는 완전 방전, 인덕터에는 전류가 흐르지 않은 상태였다고 가정한다.

KVL:
\( \displaystyle V_s = Ri + L\frac{di}{dt} + v_C \)
(식 2 - 직렬 RLC KVL)

전류 \( i = C\dfrac{dv_C}{dt} \)를 대입하고 정리하면:

\( \displaystyle \frac{d^2 v_C}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{dv_C}{dt} + \frac{1}{LC}v_C = \frac{V_s}{LC} \)
(식 3 - 직렬 RLC 2차 미분방정식)

#16에서 본 자연응답 방정식과 우변이 0이 아니라는 것만 빼면 완전히 동일한 구조다.

이 "0이 아닌 우변" 때문에 강제응답이 추가된다.

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강제 응답 구하기

입력이 직류 \( V_s \)이니 정상상태에서 \( v_C \)도 상수일 것이다. 상수를 미분하면 0이므로 식 4의 미분 항들이 전부 0이 되어:

 

\( \displaystyle \frac{1}{LC}v_f = \frac{V_s}{LC} \quad \Rightarrow \quad v_f = V_s \)
(식 4 - 강제응답/정상상태응답)

직관적으로도 말이 된다.

\( t \to \infty \)에서 커패시터가 완전히 충전되면 전류가 더 이상 흐르지 않는다.

전류가 0이면 저항과 인덕터의 전압강하도 0이다. 결국 커패시터 전압이 전원 전압 \( V_s \)를 그대로 받는다.

 

자연 응답 구하기 - 특성방적식의 근

우변을 0으로 놓고 특성방정식을 세우면:

\( \displaystyle s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC} = 0 \)
(식 5 - 특성방정식)

감쇠 계수 \( \alpha \)와 공진 주파수 \( \omega_0 \):
\( \displaystyle \alpha = \frac{R}{2L}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \)
(식 6 - 직렬 RLC 파라미터)

\( \displaystyle s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2} \)
(식 7 - 특성근)

 

완전응답 = 강제응답 \( V_s \) + 자연응답.

감쇠 유형에 따라 자연응답의 형태가 바뀌므로, 완전응답도 세 가지로 나뉜다.

이때 \( \alpha^2 - \omega_0^2 \)  값에 따라 감쇠 유형별 응답을 시계열로 비교하면 아래와 같다.

그림 2 - 감쇠 유형별 계단응답 비교

조건	유형	특성근 형태	특징
( \alpha > \omega_0 )	과감쇠	서로 다른 두 실수근	진동 없이 느리게 수렴
( \alpha = \omega_0 )	임계감쇠	중복 실수근	진동 없이 가장 빠르게 수렴
( \alpha < \omega_0 )	부족감쇠	켤레 복소근	진동하며 수렴

과감쇠 \( (\alpha > \omega_0) \)

\( s_1, s_2 \)가 서로 다른 두 실수.

 

완전응답은 아래와 같다.

\( \displaystyle v_C(t) = V_s + A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}, \quad t \geq 0 \)
(식 8 - 과감쇠 완응답)

 

진동 없이 \( V_s \)로 수렴한다.

다만 임계감쇠보다 느리다. \( A_1, A_2 \)는 초기조건으로 결정한다.

임계감쇠 \( (\alpha = \omega_0) \)

중복근 \( s = -\alpha \).

\( \displaystyle v_C(t) = V_s + (A_1 + A_2 t)\,e^{-\alpha t}, \quad t \geq 0 \)
(식 9 - 임계감쇠 완전응답)

 

세 유형 중 진동 없이 가장 빠르게 정상상태에 도달한다.

제어 설계에서 목표로 삼는 응답이기도 하다.

부족감쇠 \( (\alpha < \omega_0) \)

켤레 복소근.

\( \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2} \)가 허수가 되므로, 감쇠 고유(또는 공진) 주파수 \( \omega_d \)를 정의한다:

\( \displaystyle \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} \)
(식 10 - 감쇠 고유/공진 주파수)

오일러 공식을 써서 복소 지수를 삼각함수로 변환하면

 

\( \displaystyle \begin{aligned} v_C(t) &= V_s + e^{-\alpha t}(B_1 \cos\omega_d t + B_2 \sin\omega_d t) \\ &\quad\quad (\text{if } t \geq 0) \end{aligned} \)
(식 11 - 부족감쇠 완전응답)

 

(이 전개 과정이 궁금하다면 오일러 공식 포스팅을 참고하자)

[수학] 오일러의 공식과 항등식 - 세상에서 가장 아름다운 등식

진동하면서 \( V_s \)로 수렴한다.

\( \alpha \)가 작을수록(저항이 작을수록) 진동이 오래 지속된다.

\( \alpha = 0 \)이면 꺼지지 않고 영원히 진동하는데, 이것이 바로 비감쇠 진동이다.

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한 번에 너무 많은 내용을 주입한 것 같다.

회로이론 학습 도중 RLC 분석에서 하차하는 사람들이 많은데, 뒤로가면 더 쉬운 방법도 배우니 견뎌라.

 

일단은 익숙해지기 위해 예제를 한 번 풀어보자.

그림3 - 예제 회로

조건 : \( V_s = 10\,\mathrm{V} \), \( R = 4\,\Omega \), \( L = 1\,\mathrm{H} \), \( C = \frac{1}{5}\,\mathrm{F} \), \( v_C(0) = 0 \), \( i(0) = 0 \)

 

아래의 풀이는 반드시 천천히 보도록.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1 — 파라미터 확인

\( \displaystyle \begin{aligned} \alpha &= \frac{R}{2L} = \frac{4}{2} = 2\,\mathrm{rad/s} \\ \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} = \sqrt{5} \approx 2.24\,\mathrm{rad/s} \end{aligned} \)
(식 12 - 파라미터 계산)

\( \alpha < \omega_0 \) → 부족감쇠

\( \displaystyle \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} = \sqrt{5 - 4} = 1\,\mathrm{rad/s} \)

(식 13 - 감쇠 고유 주파수 계산)

Step 2 — 완전응답 형태 설정

\( \displaystyle v_C(t) = 10 + e^{-2t}(B_1 \cos t + B_2 \sin t) \)

(식 14 - 완전응답 형태)

Step 3 — 초기조건으로 미정계수 결정

① \( t = 0 \)에서 \( v_C(0) = 0 \):

\( \displaystyle 10 + B_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad B_1 = -10 \)

(식 15 - 첫 번째 초기조건 적용)

② \( \left.\dfrac{dv_C}{dt}\right|_{t=0} \)을 구하려면 커패시터 전류 관계를 쓴다.

 

직렬 회로에서 커패시터를 흐르는 전류는 곧 인덕터를 흐르는 전류이므로:

\( \displaystyle \left.\frac{dv_C}{dt}\right|_{t=0} = \frac{i_L(0)}{C} = \frac{0}{\,\frac{1}{5}\,} = 0 \)

(식 16 - 두 번째 초기조건)

식 14를 미분한 뒤 \( t=0 \)을 대입하면 (미분 전개 과정은 생략):

\( \displaystyle -2B_1 + B_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad B_2 = 2B_1 = -20 \)

(식 17 - 두 번째 초기조건 적용)

 

최종 답:

\( \displaystyle \begin{aligned} v_C(t) &= 10 - e^{-2t}(10\cos t + 20\sin t) \; [\mathrm{V}] \\ &\quad\quad (\text{if } t \geq 0) \end{aligned} \)
(식 18 - 예제 최종 답)

 

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인덕터 전류는?

\( v_C(t) \)를 구했으니 인덕터 전류도 바로 나온다.

직렬 회로에서 전류는 커패시터 전류와 같으므로:

\( \displaystyle i_L(t) = C\frac{dv_C}{dt} \)

(식 19 - 인덕터 전류 관계식)

 

식 18를 미분하는 전개는 번거로우니 결과만 적는다:

\( \displaystyle i_L(t) = 2e^{-2t}\sin t \quad [\mathrm{A}], \quad t \geq 0 \)

(식 20 - 인덕터 전류)

 

확인해보자.

\( t=0 \)에서 \( i_L(0) = 0 \) ✓, \( t \to \infty \)에서 \( i_L \to 0 \) ✓.

정상상태에서 커패시터가 완전히 충전되어 전류가 흐르지 않는 것과 일치한다.
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이것으로 RLC 회로의 과도응답이 마무리된다.

1차(RL/RC)의 단순한 지수 수렴에서 시작해, 2차(RLC) 회로의 자연응답과 계단응답까지 왔다.

다음부터는 정현파 정상상태 해석으로 넘어간다.

거기서부터 페이저(phasor)라는 새로운 도구가 등장한다.

직류 전압 대신 \( \sin \)과 \( \cos \)이 들어오기 시작한다는 뜻이다.

어떻게 포스팅을 구성해야할지 고민을 좀 해보고 돌아오도록 하겠다.

 

오늘의 포스팅 끝