#16. RLC 회로 (1) - 2차 미분방정식 풀기

지난번 포스팅에서는 인턱터와 커패시터에 대한 학습 후, 저항과 결합된 RL, RC 회로들에 대해서 간단히 알아보았다.

 

#15 기본적인 RL/RC 회로 - 시정수/시상수가 뭘까?

본 포스팅의 제목에서 유추할 수 있겠지만, 이번에는 세 가지 소자가 모두 사용된 회로를 분석해볼 것이다.

저항 R, 인덕터 L, 커패시터 C의 결합인 RLC 회로는 어떤 형식일지 바로 살펴보자.

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병렬 RLC 회로

병렬 RLC 회로

 

회로 이름에 충실하게 R, L, C가 모두 병렬로 연결되어 있다.

각 소자에 모두 V라는 전압이 할당되어 있고, 각각에 흐르는 전류가 위 사진과 같다.

이때, KCL을 적용해보면 아래와 같이 적을 수 있다.

식1 - KCL 방정식

 

미분도 있고 적분도 있다니..

보기만해도 더럽다.

식1을 깔끔하게 한 번 더 미분하여 적분항을 소거해본다면, 아래와 같이 표현된다.

식2 - KCL 방정식의 미분형

 

일단 V를 구하는 것을 목적으로 할 때, 이에 대한 2차 미분 방정식의 형태가 되었다.

정리된 식은 본인(V)을 여러번 미분한 것들의 합이 0이 되는 형식이다.

따라서 지수 함수를 통해 V를 다음과 같은 형식으로 표현할 수 있다.

(지금부터 기술하는 내용은 공학수학을 수강하면 이해에 도움이 된다.)

식3 - 해(V)의 형태

 

A와 s를 미지수로 가정하고 식3을 식2에 대입하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

식4 - KCL 미분형 방정식의 변형

 

식4의 앞부분인 Ae^st 는 0이될 수 없으므로, s에 대한 2차 방정식이 0이 되어야한다.

이때 s에 대한 2차 방정식을 '특성 방정식'이라고도 한다.

이를 풀면 s는 다음과 같다.

식5 - 특성 방정식에 대한 s의 해

 

두 해 s1, s2 모두 식3에 적용가능하다.

s1을 대입할 때의 A값을 A1, s2을 대입할 때의 A값을 A2라고 해보자.

당연히 어떤 s값을 적용해도 V의 해가 되므로, 미분방정식의 선형성을 고려할 때 s1, s2를 포함하는 각 근의 합 역시 V의 해가 된다.

따라서 일반적인 V의 형태를 다음과 같이 적을 수 있다.

식6 - 선형성을 고려한 해(V)의 형태

 

이제 우리가 모르는 미지수는 A1과 A2 뿐이다.

 

이를 구하기 위해서는 여기서는 초기값에 대한 정리를 먼저 진행해야 한다.

 

커패시터와 인덕터는 시간에 따라 전압/전류가 변하는 특성이 있었고, 처음 어느 지점에서 얼만큼의 전압/전류가 흐르는 것이 중요했다.

 

인덕터의 경우 전류가 급격하게 변하지 않으므로 초기 전류, 커패시터의 경우 전압이 급격하게 변하지 않으므로 초기 전압을 구하는 것이 포인트였다.

 

#12. 커패시터(Capacitor) - 전하 저장소

 

 

#13 인덕터(Inductor) - 자기장 저장소

 

따라서 초기값에 대한 정리를 먼저 해보자.

인덕터 전류 iL과 커패시터 전압 V의 초기값을 각각 iL(0), V(0)라고 할 때, 다음과 같이 표현할 수 있다.

식7 - 초기 전압/전류 정리

 

일반적으로 초기값에 관한 내용은 전압원, 스위치 등의 연결 상태를 고려해 추론할 수 있거나 문제에서 주어지는 경우가 많다.

따라서 식7의 초기값을 안다고 가정해보자.

 

식6에 t = 0을 대입할 경우, 초기값 V(0)과 같은 형태가 되므로 커패시터 초기 전압을 이용해 A1, A2에 대한 첫 번째 식을 구할 수 있다.

식8 - A1, A2를 구하기 위한 첫번째 식

 

두 미지수의 풀이에 필요한 또 하나의 관계식은 단순한 대입으로는 구할 수 없다.

따라서 조금의 식 변형이 필요하다.

이번에는 식6을 한 번 미분하여  t = 0을 대입해보자.

식9 - 식6의 미분형태

 

뭔가 뭔가 익숙한 모양이지 않는가?

커패시터 전류는 전압 V(t)의 미분과 커패시턴스 C의 곱으로 표현가능하므로, 커패시터 전류 iC의 형태와 유사하다.

식1에서의 KCL 방정식을 통해 t = 0에서의 식을 정리하면 다음과 같다.

식10 - A1, A2를 구히가 위한 두번째 식

 

결론적으로 식5에서 구한 s1/s2, 식7에서 구한 초기값을 식8과 식10에서 빨간색으로 표시된 연립 방정식에 대입하면 A1/A2를 구할 수 있다.

 

꽤나 복잡해보이지만 미분방정식만 가미된 이전의 회로 해석법과 큰 차이가 없긴 하다.

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요약하자면 RLC 회로의 해석법은 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

① KCL / KVL을 통해 R,L,C에 대한 미분 방정식을 세운다. ② 미분 방정식의 일반해 형태를 미지수 A, s를 사용하여 잡는다.③ 미분 방정식을 정리하여 s를 먼저 구한다.④ 커패시터와 인덕터의 초기값을 구한다. ⑤ 초기값(t = 0인 시점에서의 값)을 이용하여 일반해 형태의 미지수 A를 구한다.

 

다음 강의에서는 기본적인 RLC 회로의 해석법을 살펴봤으므로 이를 조금 더 깊숙히 들여다 볼 예정이다.

 

본 포스팅의 내용을 꼭꼭 숙지해둔다면 이해에 큰 도움이 될 것이다.

 

오랜만의 포스팅 끝 ~