얼마 전 복소수 관련 포스팅을 작성하며, 복소수를 지수 형식으로 표현하는 방법을 언급했다.
[수학] 복소수에 관하여 - 허수를 왜 배워?
고등수학을 처음 접하며 허수와 복소수를 배운 기억이 난다.당시에 알던 수체계는 전부 실수.즉, 실제로 존재하는 수만 배웠고, 가상의 수 '허수'라는 개념이 익숙하지 않았다. 아니 존재하지도
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이때 잠깐 오일러의 공식을 언급하였는데, 오늘은 이에 대해 깊이 살펴볼까 한다.
오일러의 공식 (Euler's formula)
수학자 레온하르트 오일러가 증명한 공식으로서 복소수와 자연로그, 지수함수 및 삼각함수를 하나로 묶어주는 공식이다.
수학뿐만 아니라 공학, 물리학 등 다양한 학문에서 중요한 역할을 하는 이 공식은 생각보다 단순한 형태를 띤다.
오.. 뭔가 그럴싸하긴 한데 왜 저 등식이 성립하는지는 잘 모르겠다.
이제 이를 증명해보려 한다.
오일러의 공식 증명
다양한 증명법이 존재하지만 필자가 생각하는 가장 간단한 증명법인 미분을 이용한 방법을 소개해주려 한다.
먼저 위와 같은 함수 f(x)를 가정해 보자.
이를 미분하면 아래와 같이 표현할 수 있다.
f(x)의 미분계수는 항상 0이므로 이는 상수 함수임을 알 수 있다.
이때 x에 0을 대입한다면 아래와 같이 표현할 수 있다.
f(x)가 항상 1이므로 양 변에 e^ix를 곱하면 우리가 아는 오일러의 공식이 유도된다.
오일러의 항등식 (Euler's identity)
오일러의 항등식은 오일러의 공식 중 특수한 경우로 x = π 일 때 성립한다.
이를 대입해 보면 아래와 같다.
흔히 오일러의 항등식을 세상에서 가장 아름다운 등식으로 소개하곤 한다.
그 이유는 구성 요소들의 상징성과 우아함에 있다.
자연 로그 : e
가상의 허수 : i
기하학의 상징 : π
덧셈의 항등원 : 0
곱셈의 항등원 : 1
가장 기초적인 연산 : +
위와 같은 요소들로 성립하는 균형 잡힌 등식이라는 점이 그 중요성과 아름다움을 보여준다.
오늘은 앞으로 배울 많은 내용들의 수학적 기초가 되는 오일러의 공식에 대해 배워보았다.
사실 회로이론 관련 포스팅을 작성하는 과정에서 이해를 돕기 위해 수학적인 내용을 먼저 다뤄보고 있지만...
해당 분야뿐만이 아닌 많은 이들의 이해에 도움이 되었으면 한다.
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