고등수학을 처음 접하며 허수와 복소수를 배운 기억이 난다.
당시에 알던 수체계는 전부 실수.
즉, 실제로 존재하는 수만 배웠고, 가상의 수 '허수'라는 개념이 익숙하지 않았다.
아니 존재하지도 않는 수를 왜 배우는 것일까?
그 물음에 대한 해답은 공대에 진학해 공업/공학 수학을 배우며 서서히 깨우쳐갔다.
간단히 말하면 계산의 편의를 위해, 상세하게는 미분방적식을 쉽게 풀려고 배우는 것이다.
포스팅을 해나가며 복소수/허수와 관련된 내용이 나올 때마다 사용처를 링크로 달아두겠다.
오늘은 일단 복소수를 표현하는 다양한 방법에 관해 살펴보자.
복소수 (Complex Number)
복소수란 실수와 허수의 조합으로 나타나는 모든 수 체계를 말한다.
상기 벤 다이어그램을 보면 이해가 빠른데, 실수와 허수를 포함한 그들의 혼합 모두를 통틀어 복소수로 표현한다.
또한 전기전자공학 분야에서는 주로 쓰는 전류 기호 i 와의 혼동을 피해기 허수부를 j 로 표현한다.
필자 역시 이 표현이 익숙하므로 앞으로 모든 허수부는 j 로서 표현하겠다.
직교 형식 (Cartesian Form)
직교 좌표계를 통해 x, y축을 각각 실수와 허수로 두고 표현하는 방식이다.
(영어적 어원은 데카르트의 좌표계에서 따왔다.)
우리가 자주 사용하는 3+3i와 같은 형식을 복소수의 직교 형식 표현이라고 한다.
통상적으로 x축을 실수축(Real axis, Re), y축을 허수축(Imaginary axis, Im)으로 두고 표현한다.
표기시에는 실수부를 X, 허수부를 Y라고 할 때 X + jY라고 적는다.
아래 예시를 보면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.
극 형식 (Polar Form)
직교 형식에서 변형된 형태이다.
간단히 말하자면,
직교 평면 위에 표현된 특정 복소수를 원점으로부터 떨어진 거리 R과 양의 Real 축과 이루는 각 θ로 표현하는 방식이다.
표기 방식은 위와 같이 R∠Θ로 표현한다.
좌표계에서의 위치를 직관적으로 알 수 있어 다양하게 사용되는 방식이다.
이때, 기본적인 삼각 함수를 사용하여 직각 형식과 극 형식의 상호 변환은 다음과 같이 적용할 수 있다.
지수 형식 (Exponential Form)
지수 형식을 이해하기 위해선 오일러 공식을 살펴볼 필요가 있다.
오일러의 공식은 다음과 같다.
이 부분에 대한 상세한 내용은 따로 포스팅을 작성할 예정이다.
일단은 지수함수의 허수승의 형태로 복소수를 표현할 수 있다는 것에 집중하자.
이를 이용하여 지수 형식이란 극 형식의 표현을 지수 함수의 형태로 변환한 것을 뜻한다.
따라서 표기법은 극 형식과 유사하게 R과 Θ를 사용하여 아래와 같이 표기한다.
최종적으로 오늘 살펴본 직각/극/지수 형식의 표기법 및 변환 방법을 요약하자면 아래와 같이 정리할 수 있다.
오늘은 복소수의 수체계 및 다양한 표현 방식에 대해 살펴보았다.
위 내용을 탄탄하게 숙지하고 있다면, 앞으로 배울 내용들의 이해에 큰 도움이 될 것이다.
오랜만의 포스팅 끝 ~
'수학' 카테고리의 다른 글
| [수학] 오일러의 공식과 항등식 - 세상에서 가장 아름다운 등식 (7) | 2024.11.06 |
|---|
