#20. 임피던스와 어드미턴스 - 저항/인덕터/커패시터를 Z 하나로

지난 글에서 페이저를 도입했다.

미분이 \( j\omega \) 곱셈으로 바뀌고, 적분이 \( 1/(j\omega) \) 곱셈으로 바뀐다는 게 핵심이었다.

#19 페이저(Phasor) - 미분방정식이 곱셈으로 바뀌는 마법

 

이제 한 발 더 나가자.

페이저 영역에서 RLC 회로 방정식을 다시 보면, 소름 돋는 일이 일어난다.

DC에서 그토록 단순했던 옴의 법칙 \( V = IR \)이, AC에서도 똑같은 형태로 부활한다.

다만 \( R \) 자리에 더 일반적/범용적인 임피던스(Impedance) \( \mathbf{Z} \) 가 들어갈 뿐이다.

 

이번 글에서는 임피던스 \( \mathbf{Z} \)와 그 역수인 어드미턴스 \( \mathbf{Y} \)를 다룬다.

이 두 양을 손에 쥐는 순간, AC 회로 해석은 DC 회로 해석과 완전히 같은 절차로 처리된다.

직렬·병렬 합성, KVL, KCL, 노드해석, 메쉬해석 — 전부 그대로 쓸 수 있다.

이게 페이저가 만든 진짜 마법이다.

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[ 세 줄 요약 ]

임피던스 \( \mathbf{Z} = \mathbf{V}/\mathbf{I} \)는 페이저 영역의 일반화된 저항이고, R·L·C가 모두 같은 단위(Ω)와 같은 합성 규칙을 따른다.

그 역수 어드미턴스 \( \mathbf{Y} = 1/\mathbf{Z} \)는 병렬 합성에서 더 편리하다.

AC 회로는 결국 DC 회로 해법을 그대로 들고 와도 된다.

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임피던스의 정의 — AC판 옴의 법칙

페이저 영역에서 어떤 소자에 걸리는 전압 페이저 \( \mathbf{V} \)와, 그곳을 흐르는 전류 페이저 \( \mathbf{I} \)의 비를 임피던스라고 정의한다.

 

\( \displaystyle \mathbf{Z} = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}} \quad [\Omega] \)

(식 1 - 임피던스의 정의)

 

복소수다.

크기와 위상이 둘 다 있다.

단위는 저항과 똑같이 옴(\( \Omega \)).

이 정의를 뒤집으면 옴의 법칙의 일반화 형태가 나온다.

 

\( \displaystyle \mathbf{V} = \mathbf{Z}\, \mathbf{I} \)

(식 2 - 일반화된 옴의 법칙)

식 2는 페이저 영역에서 항상 성립한다.

저항이든, 인덕터든, 커패시터든, 그 셋이 합쳐진 어떤 회로든.

DC에서 \( V = IR \)이 만능이었던 것처럼, AC에서는 \( \mathbf{V} = \mathbf{Z}\,\mathbf{I} \)가 만능이다.

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R, L, C의 임피던스

각 소자가 페이저 영역에서 어떤 \( \mathbf{Z} \)값을 갖는지 하나씩 구해보자.

저항 (Resistor)

저항에서는 시간 영역에서 \( v_R(t) = R\, i_R(t) \)다.

이걸 페이저로 옮기면 \( \mathbf{V}_R = R\,\mathbf{I}_R \)이고, 따라서 임피던스는 다음과 같다.

 

\( \displaystyle \mathbf{Z}_R = R \)

(식 3 - 저항의 임피던스)

 

위상도 없고 그냥 실수.

DC와 똑같다.

인덕터 (Inductor)

인덕터는 시간 영역에서 \( v_L(t) = L\,di_L/dt \)다.

페이저 영역에서 미분은 \( j\omega \) 곱셈이므로, \( \mathbf{V}_L = j\omega L\,\mathbf{I}_L \)이 된다.

 

\( \displaystyle \mathbf{Z}_L = j\omega L \)

(식 4 - 인덕터의 임피던스)

 

순허수다.

위상으로 보면 \( +90^{\circ} \) 방향(허수축 양의 방향).

크기는 \( |\mathbf{Z}_L| = \omega L \)이라 주파수가 높을수록 임피던스가 커진다.

고주파에선 인덕터가 거의 끊어진 것처럼 동작하는 이유다.

커패시터 (Capacitor)

커패시터는 시간 영역에서 \( i_C(t) = C\,dv_C/dt \)다.

페이저로 옮기면 \( \mathbf{I}_C = j\omega C\,\mathbf{V}_C \)이고, 임피던스는 그 역수다.

 

\( \displaystyle \mathbf{Z}_C = \frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \)

(식 5 - 커패시터의 임피던스)

 

순허수인데 부호가 음수.

위상은 \( -90^{\circ} \) 방향(허수축 음의 방향).

크기는 \( |\mathbf{Z}_C| = 1/(\omega C) \)이라 주파수가 높을수록 임피던스가 작아진다.

고주파에선 커패시터가 거의 단락(short)된 것처럼 동작하는 이유다.

#5-1. 단락(Short)과 개방(Open) - 끊을까? 이을까?

 

세 소자를 복소평면에 한꺼번에 그리면 이렇게 된다.

그림 1 - R·L·C 임피던스의 복소평면 위치

 

저항은 실수축, 인덕터는 +허수축, 커패시터는 −허수축에 정확히 90°씩 떨어져 있다.

이 그림 한 장이 사실상 AC 회로 해석의 절반이다.

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임피던스의 일반형 — 저항과 리액턴스

R·L·C가 섞인 회로에서, 합쳐진 임피던스는 일반적으로 복소수다.

실수부와 허수부로 나누어 쓰면 이렇게 된다.

 

\( \displaystyle \mathbf{Z} = R + jX \)

(식 6 - 임피던스의 일반형)

 

여기서 두 개의 새 용어가 등장한다.

• 실수부 \( R \): 저항(Resistance) — 에너지를 소비하는 성분
• 허수부 \( X \): 리액턴스(Reactance) — 에너지를 저장·반환하는 성분

리액턴스 \( X \)는 인덕터와 커패시터가 함께 만든다.

 

\( \displaystyle X = \omega L - \frac{1}{\omega C} \)

(식 7 - 리액턴스의 정의)

 

\( X > 0 \)이면 회로 전체가 인덕터처럼 보이고(유도성), \( X < 0 \)이면 커패시터처럼 보인다(용량성).

임피던스를 직각삼각형으로 그리면 직관이 한 번에 잡힌다.

 

(그림 2 - 임피던스 삼각형

 

빗변의 길이가 임피던스 크기, 빗변과 가로축 사이 각이 위상각이다.

 

\( \displaystyle |\mathbf{Z}| = \sqrt{R^{2} + X^{2}} \)

(식 8 - 임피던스 크기)

 

\( \displaystyle \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{X}{R}\right) \)

(식 9 - 임피던스 위상)

 

이 위상각 \( \theta \)가 바로 회로에서 전압이 전류보다 얼마나 앞서거나 뒤지는지 를 결정한다.

\( \theta > 0 \)이면 전압이 전류보다 \( \theta \)만큼 앞선다(인덕터 우세).

\( \theta < 0 \)이면 전압이 전류보다 \( \theta \)만큼 뒤진다(커패시터 우세).

순수 저항 회로에선 \( \theta = 0 \)이라 전압과 전류가 동상이다.

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어드미턴스 — 임피던스의 역수

DC 회로에서 컨덕턴스 \( G = 1/R \)를 쓸 때가 있었다.

병렬 회로에서는 저항을 직접 합치는 것보다 컨덕턴스를 더하는 게 훨씬 편하기 때문이다.

AC에서도 똑같이, 임피던스의 역수를 정의해놓으면 병렬 회로 해석이 빨라진다.

 

\( \displaystyle \mathbf{Y} = \frac{1}{\mathbf{Z}} = \frac{\mathbf{I}}{\mathbf{V}} \quad [\mathrm{S}] \)

(식 10 - 어드미턴스의 정의)

 

단위는 지멘스(\( \mathrm{S} \)).

이것도 복소수다.

실수부와 허수부로 나누면 다음과 같이 부른다.

 

\( \displaystyle \mathbf{Y} = G + jB \)

(식 11 - 어드미턴스의 일반형)

 

• 실수부 \( G \): 컨덕턴스(Conductance) — 저항의 역수에 해당
• 허수부 \( B \): 서셉턴스(Susceptance) — 리액턴스의 역수에 해당

R·L·C 각각의 어드미턴스를 정리하면 이렇다.

 

\( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{Y}_R &= \frac{1}{R} \\[4pt] \mathbf{Y}_L &= \frac{1}{j\omega L} \\[4pt] \mathbf{Y}_C &= j\omega C \end{aligned} \)

(식 12 - R·L·C의 어드미턴스)

 

커패시터의 어드미턴스가 가장 깔끔하다.

\( \mathbf{Y}_C = j\omega C \) — 미분이 \( j\omega \) 곱셈인 페이저의 본질이 그대로 드러나는 식이다.

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직렬·병렬 합성 — DC 그대로

여기서 핵심 결론이 나온다.

임피던스의 합성 규칙은 DC 저항의 합성 규칙과 완전히 똑같다.

직렬 연결에서는 임피던스가 그냥 더해진다.

 

\( \displaystyle \mathbf{Z}_{\text{series}} = \mathbf{Z}_1 + \mathbf{Z}_2 + \cdots \)

(식 13 - 직렬 임피던스 합성)

 

병렬 연결에서는 어드미턴스가 그냥 더해진다.

 

\( \displaystyle \mathbf{Y}_{\text{parallel}} = \mathbf{Y}_1 + \mathbf{Y}_2 + \cdots \)

(식 14 - 병렬 어드미턴스 합성)

 

병렬을 임피던스로 직접 표현하면 우리가 아는 그 형태다.

 

\( \displaystyle \frac{1}{\mathbf{Z}_{\text{parallel}}} = \frac{1}{\mathbf{Z}_1} + \frac{1}{\mathbf{Z}_2} + \cdots \)

(식 15 - 병렬 임피던스 합성)

DC 시절 외웠던 \( R_{\text{series}} = R_1 + R_2 \), \( 1/R_{\text{parallel}} = 1/R_1 + 1/R_2 \) 그대로다.

#4. 직렬 연결과 병렬 연결 - 릴레이와 트랙

 

심지어 KVL, KCL, 노드해석, 메쉬해석, 중첩의 원리, 테브난·노턴 등가회로 — 전부 그대로 적용된다.

차이는 단 하나, 모든 양이 실수가 아니라 복소수라는 점뿐이다.

복소수 사칙연산만 익숙하면 AC 회로 해석은 새로 배울 게 없다.

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핵심 요약 표

한 번에 정리하면 이렇다.

소자	시간영역 v–i 관계	임피던스 \( \mathbf{Z} \)	어드미턴스 \( \mathbf{Y} \)	위상 (전압 기준 전류)
저항 \( R \)	\( v = R\, i \)	\( R \)	\( 1/R \)	동상 (0°)
인덕터 \( L \)	\( v = L\, di/dt \)	\( j\omega L \)	\( 1/(j\omega L) \)	전류가 90° 뒤짐
커패시터 \( C \)	\( i = C\, dv/dt \)	\( 1/(j\omega C) \)	\( j\omega C \)	전류가 90° 앞섬

(표 1 - R·L·C의 v–i 관계, 임피던스, 어드미턴스 정리)

 

마지막 열의 위상 관계는 소자가 어떻게 동작하는지 떠올리면 자연스럽게 떨어지는 결과다.

커패시터 — 전압이 느리다

커패시터에 전원을 막 인가한 순간을 떠올려보자.

전류는 즉시 흐르기 시작한다.

전자가 한쪽 극판에 도착해야, 그제야 전압이 조금씩 쌓인다.

다시 말해 전류가 먼저 흐르고, 전압은 그 결과로 천천히 따라붙는다.

그래서 커패시터에서는 전류가 전압보다 앞선다(90° 앞섬).

식으로 봐도 똑같다.

\( i_C = C\, dv/dt \) — 전류는 전압의 변화율에 비례하니까, 전압이 변하기 시작하려면 전류가 먼저 흘러야 한다.

#12. 커패시터(Capacitor) - 전하 저장소

인덕터 — 전류가 느리다

인덕터는 정반대다.

전압을 인가해도 전류가 곧장 최댓값으로 흐르지 않는다.

흘러 들어가는 에너지가 자기장을 만드는 데 쓰이기 때문이다.

자기장이 어느 정도 자리를 잡아야, 그제야 전류가 자라난다.

즉 전압이 먼저 걸리고, 전류는 그 뒤를 따라온다.

그래서 인덕터에서는 전류가 전압보다 뒤진다(90° 뒤짐).

식으로 봐도 마찬가지다.

\( v_L = L\, di/dt \) — 전압은 전류의 변화율에 비례하니까, 전류가 변하려면 먼저 전압이 걸려야 한다.

#13. 인덕터(Inductor) - 자기장 저장소

한 줄로 정리

"느린 쪽이 뒤진다" — 이거 하나면 된다.

• 커패시터는 전압이 천천히 쌓이는 소자 → 전압이 뒤진다 → 전류가 90° 앞섬
• 인덕터는 전류가 천천히 자라는 소자 → 전류가 뒤진다 → 전류가 90° 뒤짐

이 직관이 잡히면, 표 1의 마지막 열은 다시는 헷갈리지 않는다.

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마무리

이번 글에서 짚은 것을 한 번만 더 정리하자.

• 임피던스 \( \mathbf{Z} = \mathbf{V}/\mathbf{I} \)는 페이저 영역의 일반화된 저항
• R은 \( \mathbf{Z}_R = R \), L은 \( \mathbf{Z}_L = j\omega L \), C는 \( \mathbf{Z}_C = 1/(j\omega C) \)
• 일반형 \( \mathbf{Z} = R + jX \)에서 \( R \)은 저항, \( X \)는 리액턴스
• 어드미턴스 \( \mathbf{Y} = 1/\mathbf{Z} \)는 병렬 합성에서 편리
• 직렬·병렬 합성, KVL/KCL — DC 회로 해법이 그대로 적용

이제 AC 회로 해석에 필요한 도구는 다 챙겼다.

다음 글에서는 이 도구를 들고 실제 RLC 회로의 주파수 응답 으로 들어간다.

저주파에서 어떻게 보이고, 고주파에서 어떻게 보이며 공진(Resonance)이 무엇인지.

 

오늘의 포스팅 끝~