#17. RLC 회로 (2) - 감쇠 삼형제

지난 포스팅에서 RLC 회로의 자연응답을 구하기 위해 2차 미분방정식을 세우고, 특성방정식의 근을 구하는 과정까지 살펴보았다.

 

#16. RLC 회로 (1) - 2차 미분방정식 풀기

 

특성방정식까지 구했으면 뭘 해야 할까? 그 근의 형태에 따라 회로의 응답이 완전히 달라진다.

마치 그네를 밀었을 때의 반응과 비슷하다.

살짝 밀면 앞뒤로 흔들리다 서서히 멈추고, 세게 누르면 흔들리지도 못하고 천천히 제자리로 돌아온다.

적당히 밀면? 딱 한 번 움찔하고 바로 멈추는 이상적인 경우가 있다.

이 세 가지 반응이 바로 오늘의 주인공, 감쇠 삼형제다.

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감쇠 계수 α와 공진 주파수 ω0

이전 글에서 구한 병렬 RLC 회로의 특성방정식은 이런 모양이었다.

 

\( \displaystyle s^2 + \frac{1}{RC}s + \frac{1}{LC} = 0 \)

(식 1 - 병렬 RLC 특성방정식)

 

이걸 2차 방정식의 일반 형태로 쓰면:

\( \displaystyle s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0 \)

(식 2 - 일반형 2차 특성방정식)

 

계수끼리 비교하면 자연스럽게 다음이 나온다.

\( \displaystyle \alpha = \frac{1}{2RC}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \)

(식 3 - 감쇠 계수 α와 공진 주파수 ω₀)

 

굳이 이렇게 치환하는 이유가 뭘까?

\( \alpha \)와 \( \omega_0 \)의 대소 관계 하나로 감쇠 유형을 바로 판별할 수 있기 때문이다.

\( \alpha \) 는 저항에 의한 에너지 소모 속도를 나타내고, \( \omega_0 \) 는 L과 C에 의한 고유 진동 경향을 나타낸다.

이 둘의 힘겨루기가 회로의 운명을 결정짓는 것이다.

 

RLC가 직렬이냐 병렬이냐에 따라 이 α와 ω₀의 값이 변하는데 요약하면 아래와 같다.

기호	이름	병렬 RLC	직렬 RLC	의미
α	감쇠 계수	\( \frac{1}{2RC} \)	\( \frac{R}{2L} \) ​	에너지 소모 속도
ω₀​	공진 주파수	\( \frac{1}{\sqrt{LC}} \)	\( \frac{1}{\sqrt{LC}} \)	고유 진동 경향

 

식 2에서 근의 공식을 적용하면:

\( \displaystyle s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2} \)

(식 4 - 특성방정식의 근)

 

핵심은 루트 안 값의 부호다.

\( \alpha^2 - \omega_0^2 \)이 양수냐, 음수냐, 0이냐. 이거 하나로 전부 갈린다.

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1. 과감쇠 (Overdamped): \( \alpha^2 > \omega_0^2 \)

\( \alpha \)가 \( \omega_0 \)보다 크다는 건, 저항이 커서 에너지 소모가 진동 경향을 압도한다는 뜻이다.

루트 안이 양수이므로 근은 서로 다른 두 실수.

 

\( \displaystyle v(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t} \)

(식 5 - 과감쇠 응답)

 

감쇠하는 지수함수 두 개의 합. 진동 없이 느릿느릿 0으로 수렴한다.

그네줄이 뻣뻣해서 흔들리지도 못하고 천천히 내려오는 느낌.

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2. 부족감쇠 (Underdamped): \( \alpha^2 < \omega_0^2 \)

이번엔 \( \omega_0 \)가 더 크다. 진동 경향이 에너지 소모보다 강하다.

루트 안이 음수가 되므로 근이 복소수다. 복소수가 낯설다면 아래 글을 보고 오자.

[수학] 복소수에 관하여 - 허수를 왜 배워?

 

감쇠 진동 주파수 \( \omega_d \)를 정의하면:

\( \displaystyle \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} \)

(식 6 - 감쇠 진동 주파수)

 

근은 다음과 같다.

\( \displaystyle s_{1,2} = -\alpha \pm j\omega_d \)

(식 7 - 복소수 근)

 

응답:

\( \displaystyle v(t) = e^{-\alpha t}(B_1 \cos \omega_d t + B_2 \sin \omega_d t) \)

(식 8 - 부족감쇠 응답)

 

\( e^{-\alpha t} \)가 감쇠하는 포락선(envelope) 역할을 하고, 그 안에서 cos, sin이 진동한다.

그네를 밀었을 때 출렁출렁 흔들리다가 서서히 멈추는 모습이다.

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3. 임계감쇠 (Critically Damped): \( \alpha^2 = \omega_0^2 \)

\( \alpha )와 ( \omega_0 \)가 딱 같다. 루트 안이 0이므로 중근이 나온다.

\( \displaystyle s_1 = s_2 = -\alpha \)

(식 9 - 중근)

 

중근일 때 미분방정식의 일반해는:

\( \displaystyle v(t) = (D_1 t + D_2) e^{-\alpha t} \)

(식 10 - 임계감쇠 응답)

 

진동 없이 가장 빠르게 0으로 수렴하는 경우다.

그네가 딱 한 번 움찔하고 바로 멈추는 느낌. 자동차 서스펜션이 대표적인 예시다.

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세 감쇠 유형 비교

그림 1 - 감쇠 유형별 응답 비교 그래프

유형	조건	근의 형태	응답 특징	비유
과감쇠	\( \alpha^2 > \omega_0^2 \)	서로 다른 실수 2개	느리게 감쇠, 진동 없음	뻣뻣한 그네
임계감쇠	\( \alpha^2 = \omega_0^2 \)	중근 (실수)	최단시간 감쇠, 진동 없음	딱 멈추는 그네
부족감쇠	\( \alpha^2 < \omega_0^2 \)	복소수 켤레	출렁이며 감쇠	흔들리는 그네

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예제 : 감쇠 유형 판별

그림 2 - 병렬 RLC 예제 회로

\( R = 5 \text{ k}\Omega \), \( L = 1 \text{ H} \), \( C = 10 \text{ nF} \) 일 때, 감쇠 유형을 판별해보자.

 

Step 1. \( \alpha \)와 \( \omega_0 \) 계산

\( \displaystyle \begin{aligned} \alpha &= \frac{1}{2RC} = \frac{1}{2 \times 5000 \times 10 \times 10^{-9}} \\ &= 10,000 \; \mathrm{rad/s} \end{aligned} \)
(식 11 - α 계산)

 

\( \displaystyle \begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{1 \times 10 \times 10^{-9}}} \\ &= 10,000 \; \mathrm{rad/s} \end{aligned} \)
(식 12 - ω₀ 계산)

 

Step 2. 비교

\( \displaystyle \alpha^2 = \omega_0^2 = 10^8 \)

(식 13 - 대소 비교)

 

\( \alpha = \omega_0 \)이므로 임계감쇠다!

 

Step 3. 응답

\( \displaystyle v(t) = (D_1 t + D_2) e^{-10,000t} \)

(식 14 - 예제 응답 결과)

\( D_1 \), \( D_2 \)는 초기 조건 \( v(0) \)과 \( \displaystyle \frac{dv(0)}{dt} \)로 결정한다.

 

초기 조건 설정은 RL/RC 회로 포스팅에서 다룬 방식과 동일하다.

#15 기본적인 RL/RC 회로 - 시정수/시상수가 뭘까?

 

참고로 \( R \)이 5 kΩ보다 작아지면?

\( \alpha \)가 커져서 \( \alpha > \omega_0 \), 즉 과감쇠로 바뀐다.

반대로 \( R \)이 커지면?

\( \alpha \)가 작아져서 \( \alpha < \omega_0 \), 부족감쇠가 된다.

 

저항이 감쇠 유형을 결정짓는 핵심 변수인 셈이다.