[수학] 2계 미분방정식과 특성방정식 - 근의 공식 이용

지난 글에서는 1계 미분방정식 풀이법을 정리했다.

변수분리로 되는 놈은 변수분리, 안 되는 놈은 적분인자를 곱해서 어떻게든 적분 가능한 꼴로 몰아넣는 게 전부였다.

[수학] 1계 미분방정식 풀이법 - dy/dx, 이제 무섭지 않다

근데 회로이론은 여기서 멈추질 않는다.

인덕터와 커패시터가 한 회로에 같이 들어가는 순간, 회로 방정식은 2계 미분방정식으로 점프해버린다.

RL·RC 회로에선 전류(또는 전압)의 변화율 \( dx/dt \) 하나만 보면 됐는데, RLC부터는 변화율의 변화율 \( d^2x/dt^2 \)까지 같이 들어가기 때문이다.

1계 풀던 감각으론 분리 자체가 안 된다.

 

그런데 기특하게도, 이걸 푸는 핵심 도구는 중학교 3학년 때 지겹게 외웠던 근의 공식이다. 진짜다.

이 글에선 연결고리를 하나씩 풀어본다.

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[ 한 줄 요약 ]

2계 선형 미분방정식은 "해를 \( e^{st} \)로 가정"하는 한 번의 아이디어로 대수방정식(특성방정식)으로 바뀌고, 그 판별식 \( D \)의 부호가 회로의 감쇠 거동을 그대로 결정한다.

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2계 선형 상미분방정식, 생긴 모양부터

RL·RC의 지배 방정식은 1계였다.

직렬 RLC 회로에서는 아래와 같이 변한다.

 

\( \displaystyle L \frac{d^2 i(t)}{dt^2} + R \frac{d i(t)}{dt} + \frac{1}{C} i(t) = 0 \)

(식 1 - 직렬 RLC 자연응답 방정식)

#18. RLC 회로의 완전응답/계단응답 - 강제응답과 자연응답의 콜라보

 

미지 함수는 \( i(t) \), 독립 변수는 \( t \). \( i \)에 대해 2번 미분한 항이 있어서 2계(second-order).

각 항이 \( i \)에 대해 1차라서 선형(linear), 우변이 0이라 동차(homogeneous)라 부른다.

회로 상수를 숨기고 일반형으로 쓰면 이렇다.

 

\( \displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2} + a \frac{dx}{dt} + b\, x = 0 \)

(식 2 - 2계 선형 동차 미분방정식 일반형)

 

\( a, b \)는 \( R, L, C \)에서 오는 실수 상수다. 1계 때처럼 \( x \)와 \( t \)를 좌우로 분리해보려 해봐라.

안 된다. \( x \), \( x' \), \( x'' \)가 한꺼번에 엉켜 있어서 분리 자체가 불가능하다.

그래서 1계의 "분리→적분" 전략을 버리고, 접근 방법 자체를 갈아엎어야 한다.

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해를 \( e^{st} \)로 가정하는 이유

수학책을 펼치면 대뜸 이렇게 쓰여 있다.

 

'해를 \( x(t) = e^{st} \) 꼴로 가정한다.'

보자마자 의문이 든다. 왜 하필 지수함수냐? 사인은 안 되나? 다항식은? 나도 그랬다.

이유는 진짜 단순하다.

\( e^{st} \)는 몇 번을 미분해도 자기 자신이 그대로 나온다.

앞에 상수 \( s \)만 하나씩 붙을 뿐이다.

 

\( \displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dt} e^{st} &= s\, e^{st} \\[4pt] \frac{d^{2}}{dt^{2}} e^{st} &= s^{2}\, e^{st} \end{aligned} \)

(식 3 - 지수함수는 미분해도 자기 자신이 돌아온다)

 

이 성질이 왜 축복인지, 식 2에 그냥 대입해보면 바로 느낌이 온다.

 

\( \displaystyle s^{2} e^{st} + a s\, e^{st} + b\, e^{st} = 0 \)

\( e^{st} \)는 절대 0이 아니니까 (\( t \)가 뭐가 돼도 \( e^{st} > 0 \)), 양변을 \( e^{st} \)로 시원하게 나눠버릴 수 있다.

 

\( \displaystyle s^{2} + a s + b = 0 \)

(식 4 - 특성방정식 (Characteristic Equation))

 

방금 미분방정식이 대수방정식으로 바뀌었다.

이게 전부다.

\( s \)에 대한 평범한 2차 방정식 하나가 튀어나왔고, 여기서 구한 두 근 \( s_1, s_2 \)가 원래 미분방정식의 해 \( x(t) \)를 조립하는 핵심 재료가 된다.

두 근이 서로 다르다고 가정하면, 일반해는 이렇게 쓴다.

 

\( \displaystyle x(t) = C_1 e^{s_1 t} + C_2 e^{s_2 t} \)

(식 5 - 일반해 구조, 서로 다른 두 실근인 경우)

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근의 공식이 진짜로 회로를 푼다

식 4를 멀리서 보면 그냥 \( s \)에 대한 2차방정식이다.

중학교 때 외웠던 근의 공식을 바로 꽂아넣으면 된다.

 

\( \displaystyle s = \frac{-a \pm \sqrt{a^{2} - 4b}}{2} \)

(식 6 - 특성근)

 

그리고 판별식 \( D = a^2 - 4b \)의 부호에 따라, 해 \( x(t) \)의 질적 성격이 완전히 달라진다.

이게 회로이론에서 감쇠(damping)가 세 종류로 나뉘는 근본 이유다.

#17. RLC 회로 (2) - 감쇠 삼형제

 

표로 정리하면 이렇다.

 

판별식 \( D = a^2 - 4b \)	특성근	일반해 \( x(t) \)	회로 응답 분류
\( D > 0 \)	서로 다른 두 실근 \( s_1, s_2 \) (둘 다 음수)	\( C_1 e^{s_1 t} + C_2 e^{s_2 t} \)	과감쇠 (Overdamped)
\( D = 0 \)	중근 \( s \) (실수, 음수)	\( (C_1 + C_2 t)\, e^{s t} \)	임계감쇠 (Critically damped)
\( D < 0 \)	공액 복소근 \( s = \alpha \pm j\beta \)	\( e^{\alpha t}(C_1 \cos\beta t + C_2 \sin\beta t) \)	부족감쇠 (Underdamped)

(표 1 - 판별식 부호별 일반해와 회로 응답 분류)

 

세 경우가 실제로 시간 응답에서 어떻게 다르게 보이는지 한 그림에 몰아서 그리면 이렇다.

그림 1 - 판별식 부호에 따른 2계 시스템의 시간 응답 비교

• 과감쇠: 흔들림(오버슈트) 없이 서서히 0으로 기어가는 모양. 제동장치 꽉 건 자동차가 천천히 멈추는 느낌.
• 임계감쇠: 과감쇠와 부족감쇠의 경계. 흔들림 없이 가장 빨리 0에 수렴한다. 실무에선 제어 시스템 튜닝의 단골 타깃.
• 부족감쇠: 0 아래위로 출렁이면서 감쇠. 종을 치면 울리다가 사라지는 소리처럼, 주파수 \( \beta \)로 진동하면서 봉투(envelope)가 \( e^{\alpha t} \)로 줄어든다.

중근(\( D=0 \))에서 해에 \( t \)가 한 번 곱해진 이유, 복소근(\( D<0 \))에서 복소 지수가 \( \cos, \sin \)의 합으로 풀리는 이유는 한 걸음 더 들어가면 길어진다.

후자는 오일러의 공식을 기억하고 있으면 바로 감이 온다.

 

\( \displaystyle \begin{aligned} e^{(\alpha + j\beta)t} &= e^{\alpha t} \cdot e^{j\beta t} \\[4pt] &= e^{\alpha t}(\cos\beta t + j \sin\beta t) \end{aligned} \)

(식 7 - 오일러 공식으로 복소지수 풀기)

[수학] 오일러의 공식과 항등식 - 세상에서 가장 아름다운 등식

 

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상수 \( C_1, C_2 \)는 초기조건이 정해준다

위에서 나온 일반해는 상수 \( C_1, C_2 \) 두 개를 달고 있다.

이건 초기조건(Initial Condition)으로 결정된다.

회로 문제에서 초기조건은 보통 두 개가 준비된다.

• \( t = 0 \)에서의 값: \( x(0) \)
• \( t = 0 \)에서의 변화율: \( x'(0) \)

예를 들어 \( x(0) = V_0 \), \( x'(0) = 0 \)이 주어지면, 일반해에 \( t=0 \)을 대입한 식 하나, 일반해를 미분해서 \( t=0 \)을 대입한 식 하나, 총 두 개의 방정식이 만들어지고, 여기서 \( C_1, C_2 \)를 연립해서 뽑아낼 수 있다.

2계 미분방정식이 초기조건 2개를 요구하는 이유도 여기서 나온다.

미분 한 번 할 때마다 불확정 상수가 하나씩 생기고, 2번 미분했으니 상수가 둘 있어야 해가 하나로 결정된다.

차수만큼 조건이 따라붙는다는 얘기다.

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회로부터 해까지, 전체 흐름 한눈에

지금까지 한 일을 순서대로 정리하면, 아래 흐름 하나로 수렴한다.

그림 2 - 2계 선형 동차 미분방정식 풀이 흐름도

 

1. 회로에 KVL/KCL 적용 → 2계 미분방정식 세우기
2. 해를 \( e^{st} \)로 가정
3. 대입 후 \( e^{st} \) 약분 → 특성방정식 (2차 대수방정식)
4. 근의 공식으로 \( s_1, s_2 \) 계산
5. 판별식 \( D \)의 부호로 과감쇠 / 임계감쇠 / 부족감쇠 판정
6. 일반해 조립 → 초기조건으로 \( C_1, C_2 \) 확정

이 흐름 하나가 RLC 회로뿐 아니라 제어 시스템의 2차 플랜트, 기계 진동계, 신호 처리의 2차 필터까지, 2계 선형계 전체를 똑같은 논리로 관통한다.

진짜 한 번만 제대로 익혀두면 평생 써먹는 공구다.

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이제 2계 미분방정식의 뼈대가 잡혔다.

다음 글에선 이걸 그대로 RLC 회로에 밀어넣어서, 과감쇠·임계감쇠·부족감쇠가 실제 회로 파형에서 어떻게 튀어나오는지 본다.

이번 글에서 만든 판별식 감각이 바로 거기서 힘을 낸다.