[수학] 라플라스 변환의 수학적 기초 - 미분방정식이 곱셈으로 바뀐다고?

지난 글까지 우리는 1계 미분방정식과 2계 미분방정식 푸는 법을 살펴봤다.

특성방정식을 세우고, 근을 구하고, 보조해와 특수해를 잇대어 일반해를 만드는 작업이었다.

근의 공식이 회로를 푼다는 건 알았는데, 솔직히 RLC 한 번 푸는데 손이 너무 많이 간다.

[수학] 2계 미분방정식과 특성방정식 - 근의 공식 이용

 

여기서 그렇다면 한 가지 의문이 생긴다.

"미분방정식 자체를 아예 다른 형태로 바꿔서 풀 수는 없을까?"

이 의문에 답을 주는 게 바로 라플라스 변환(Laplace Transform) 이다.

 

라플라스 변환은 시간 영역의 미분방정식을 s라는 변수의 대수방정식으로 통째로 바꿔준다.

쫌 기다려 봐라.

미적분이 사칙연산이 된다는 말이다.

오늘은 #26 라플라스 변환을 회로에 본격적으로 들이대기 전에, 그 수학적 뿌리부터 천천히 짚어보겠다.

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[ 한 줄 요약 ]

라플라스 변환은 시간 영역의 함수 \( f(t) \)를 s 영역의 함수 \( F(s) \)로 옮기는 적분 변환이며, 이 변환을 거치면 미분·적분이 s와의 곱셈·나눗셈으로 바뀐다.

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그림 1 - 적분 변환은 어려운 문제를 쉬운 영역으로 옮김

적분 변환이란 무엇인가?

변환이라는 단어를 너무 거창하게 받아들이지 말자.

일상에서 우리는 항상 변환을 쓴다.

한국어로 풀기 어려운 문제를 영어로 옮겨 풀고, 다시 한국어로 돌려놓는 게 변환이다.

 

수학에서도 똑같다.

t로 풀기 어려운 미분방정식을 s로 옮겨 풀고, 다시 t로 돌려놓는 게 적분 변환이다.

적분 변환(Integral Transform) 의 일반형은 다음과 같이 생겼다.

 

\( \displaystyle F(s) = \int_{a}^{b} f(t)\,K(s,t)\,dt \)

(식 1 - 적분 변환의 일반 형태)

 

여기서 \( K(s,t) \)를 커널(kernel) 이라고 부른다.

커널을 무엇으로 잡느냐에 따라 변환의 이름이 달라진다.

먹물식(격식있는) 정의만 보면 메스껍다.

쉽게 말하면, 커널이 변환의 성격을 결정짓는 "사전"이다.

변환 이름	커널 \( K(s,t) \)	적분 구간
라플라스 변환	\( e^{-st} \)	\( [0,\ \infty) \)
푸리에 변환	\( e^{-j\omega t} \)	\( (-\infty,\ \infty) \)
멜린 변환	\( t^{s-1} \)	\( (0,\ \infty) \)

(표 1 - 대표적인 적분 변환들의 커널 비교)

 

푸리에 변환은 회로이론 강의의 뒷부분에서 다룰 예정이다.

오늘 주인공은 커널이 \( e^{-st} \)인 라플라스 변환이다.

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라플라스 변환의 정의

라플라스 변환의 정의는 위 일반형에 커널과 적분 구간을 끼워 넣으면 끝이다.

 

\( \displaystyle F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt \)

(식 2 - 라플라스 변환 정의)

여기서 \( s \)는 일반적으로 복소수다.

 

\( \displaystyle s = \sigma + j\omega \)

(식 3 - 복소수 s)

 

\( \sigma \)는 실수부, \( \omega \)는 허수부에 대응한다.

복소수가 왜 또 나오는지 거부감이 든다면, [수학] 복소수 글로 잠깐 돌아가서 워밍업하고 와도 좋다.

[수학] 복소수에 관하여 - 허수를 왜 배워?

 

왜 적분 구간이 0부터 무한대인가

여기서 한 가지 짚고 가자.

푸리에 변환은 \( -\infty \)부터 \( +\infty \)까지 적분하는데, 라플라스 변환은 \( 0 \)부터 \( +\infty \)까지만 적분한다.

이유는 단순하다.

회로나 시스템 해석에서 우리는 보통 t = 0 시점에 스위치가 켜진 이후의 응답에 관심이 있다.

스위치 켜기 전 음의 시간까지 들여다볼 필요가 없으니, 구간을 \( [0,\ \infty) \)로 잘라낸 것이다.

이걸 정확히 단측 라플라스 변환(unilateral Laplace transform) 이라고 부른다.

회로 해석에선 사실상 이거만 쓴다.

수렴 조건

적분이 항상 잘 계산되는 건 아니다.

\( f(t) \)가 시간에 따라 너무 빨리 발산하면, \( e^{-st} \)로 눌러도 적분이 무한대가 되어버린다.

다행히 우리가 회로에서 만나는 신호(스텝, 지수감쇠, 사인파 등)들은 대부분 적당한 \( \sigma \) 값에서 수렴한다.

이 수렴이 보장되는 s 영역을 수렴 영역(ROC, Region of Convergence) 이라고 부른다.

처음 공부할 때는 ROC를 너무 깊게 파지 않아도 된다.

회로 해석 범위에선 표만 외워 써도 거의 문제가 없다.

기본 변환쌍 - 외울 건 외우자

라플라스 변환은 적분을 매번 손으로 계산하지 않는다.

자주 쓰는 함수들의 변환 결과를 표로 정리해두고 가져다 쓰는 게 정석이다.

 

시간 영역 \( f(t) \)	s 영역 \( F(s) \)
\( \delta(t) \) (임펄스)	\( 1 \)
\( u(t) \) (단위 계단)	\( \dfrac{1}{s} \)
\( t \)	\( \dfrac{1}{s^2} \)
\( t^n \)	\( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \)
\( e^{-at} \)	\( \dfrac{1}{s+a} \)
\( t\,e^{-at} \)	\( \dfrac{1}{(s+a)^2} \)
\( \sin(\omega t) \)	\( \dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2} \)
\( \cos(\omega t) \)	\( \dfrac{s}{s^2 + \omega^2} \)
\( e^{-at}\sin(\omega t) \)	\( \dfrac{\omega}{(s+a)^2 + \omega^2} \)
\( e^{-at}\cos(\omega t) \)	\( \dfrac{s+a}{(s+a)^2 + \omega^2} \)

(표 2 - 회로 해석에서 자주 쓰는 라플라스 변환쌍)

 

이 정도만 외워두면 웬만한 RLC 과도응답은 거의 다 표 1장으로 푼다.

부디 알아챘길 바란다.

분모에 \( s+a \) 형태가 들어가면 시간 영역에선 \( e^{-at} \) 같은 지수감쇠가 나온다.

분모에 \( s^2 + \omega^2 \)가 들어가면 사인·코사인 진동이 나온다.

이게 다음 글에서 다룰 부분분수 분해로 이어진다.

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라플라스 변환의 핵심 성질 - 미분이 곱셈으로

여기서부터가 진짜 라플라스 변환의 위력이다.

가장 중요한 성질부터 보자.

미분의 라플라스 변환

\( f(t) \)의 도함수 \( f'(t) \)의 라플라스 변환은 다음과 같다.

 

\( \displaystyle \mathcal{L}\!\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\} = sF(s) - f(0) \)

(식 4 - 1계 미분의 라플라스 변환)

 

읽어보자.

시간 영역의 미분이 s 영역에선 s를 곱하는 연산 으로 바뀌어 버렸다.

이게 라플라스 변환의 모든 것이라 해도 과언이 아니다.

2계 미분으로 가도 똑같은 원리다.

 

\( \displaystyle \begin{aligned} \mathcal{L}\!\left\{\frac{d^2 f(t)}{dt^2}\right\} &= s^2 F(s) \\[4pt] &\quad - s\,f(0) - f'(0) \end{aligned} \)

(식 5 - 2계 미분의 라플라스 변환)

 

\( f(0) \), \( f'(0) \)는 초기 조건이다.

지난 글에서 1계 ODE 풀이의 적분 상수, 2계 ODE 풀이의 미정 계수를 잡느라 골치 썩었던 그 초기조건이 라플라스 변환에선 식 안에 그냥 박혀 들어간다.

별도의 후속 작업이 필요 없다.

적분의 라플라스 변환

미분이 s 곱셈이라면, 적분은 그 반대다.

 

\( \displaystyle \mathcal{L}\!\left\{\int_{0}^{t} f(\tau)\,d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s} \)

(식 6 - 적분의 라플라스 변환)

 

s로 나눠주면 끝이다.

선형성

당연한 얘기지만 짚고 넘어가자.

 

\( \displaystyle \mathcal{L}\{a\,f(t) + b\,g(t)\} = a\,F(s) + b\,G(s) \)

(식 7 - 라플라스 변환의 선형성)

 

회로의 KVL/KCL이 선형 방정식이라는 점과 정확히 짝이 맞는다.

그림 2 - 라플라스 변환의 핵심 성질 요약

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예제 - 1계 RC 회로

말로만 떠들면 와닿지 않으니, 가장 간단한 1계 ODE 하나를 직접 풀어보자.

 

#15. 기본적인 RL/RC 회로 에서 봤던 RC 직렬 회로의 시간응답이다.

#15. 기본적인 RL/RC 회로 - 시정수/시상수가 뭘까?

 

그림 3 - 1계 RC 직렬 회로 예제

 

회로의 KVL을 세우면 다음과 같은 1계 미분방정식이 나온다.

 

\( \displaystyle RC\,\frac{dv_C(t)}{dt} + v_C(t) = V_s \)

(식 8 - RC 회로의 1계 미분방정식)

 

초기조건 \( v_C(0) = 0 \), 입력은 t = 0에 인가되는 DC 전압 \( V_s \)다.

 

① 양변을 라플라스 변환

식 4와 표 2의 단위 계단 변환을 적용한다.

 

\( \displaystyle RC\,[\,s\,V_C(s) - v_C(0)\,] + V_C(s) = \frac{V_s}{s} \)

(식 9 - 양변을 라플라스 변환한 결과)

 

초기조건 \( v_C(0) = 0 \)을 대입하면 깔끔해진다.

 

\( \displaystyle (RCs + 1)\,V_C(s) = \frac{V_s}{s} \)

(식 10 - 초기조건 대입 후 정리)

 

② s 영역에서 대수적으로 풀기

이제부턴 그냥 사칙연산이다.

 

\( \displaystyle V_C(s) = \frac{V_s}{s\,(RCs + 1)} \)

(식 11 - s 영역에서 푼 V_C(s))

 

③ 역변환으로 시간 응답 얻기

\( V_C(s) \)를 부분분수 분해하면 다음 형태가 된다.

 

\( \displaystyle V_C(s) = \frac{V_s}{s} - \frac{V_s}{s + 1/RC} \)

(식 12 - 부분분수 분해 결과)

 

표 2를 보고 그대로 역변환하면 끝이다.

 

\( \displaystyle v_C(t) = V_s\,(1 - e^{-t/RC}) \)

(식 13 - RC 회로 스텝 응답)

 

이게 우리가 #15에서 손으로 적분상수까지 잡아가며 구했던 그 결과다.

라플라스 변환을 쓰면 미분방정식 풀이가 사칙연산 + 표 조회로 끝난다는 게 보일 것이다.

부분분수 분해라는 한 단계가 필요했는데, 이게 워낙 중요해서 다음 글에서 따로 다룰 예정이다.

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정리하며

오늘 살펴본 내용을 단순화해서 묶으면 다음 한 줄이다.

라플라스 변환은 미적분 연산을 s와의 사칙연산으로 옮겨주는 적분 변환이다.

이게 가능한 이유는 커널 \( e^{-st} \)가 미분 연산에 대해 특별한 대각화 성질을 갖기 때문인데, 그 깊은 이야기는 나중 글에서 다루겠다.