[수학] 1계 미분방정식 풀이법 - dy/dx, 이제 무섭지 않다

지난 회로이론 포스팅 중 커패시터와 인덕터가 회로에 들어온 순간부터 우리는 줄곧 미분방정식과 씨름하고 있었다.
그동안 '결과 수식'을 던져주고 "이렇게 풀리더라"라고 넘어갔었다.

하지만 언제까지 결과만 외우고 살 수는 없다.

뒤에 나올 2계 미분방정식, 라플라스 변환, 페이저까지 전부 "미분방정식을 푼다"는 공통의 뿌리를 가지니까.

그래서 오늘은 회로 해석을 위한 최소한의 미분방정식 풀이를 정리한다.

본 포스팅에서는 1계(First-order)만 다룬다.

왜냐하면 RL, RC 회로는 전부 1계로 떨어지기 때문이다.

딱 두 가지 기술만 기억하면 된다. 변수분리법과 적분인자법.

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1계 미분방정식이란?

미분방정식(Differential Equation, DE)이란 말 그대로 미분이 포함된 방정식이다.

그중에서도 1계(First-order)는 미분이 한 번까지만 등장하는 놈을 말한다.

 

회로에서는 주로 아래 모양으로 나온다:

\( \displaystyle \frac{dy}{dt} + P(t)\, y = Q(t) \)
(식 1 - 1계 선형 미분방정식의 일반형)

여기서 \( y \)는 우리가 구하고 싶은 미지의 함수(전류나 전압), \( P(t) \)와 \( Q(t) \)는 알려진 함수(또는 상수)다.

\( Q(t) = 0 \)이면 동차(Homogeneous), \( Q(t) \neq 0 \)이면 비동차(Non-homogeneous)라고 부른다.

회로이론에서 동차 = 자연응답(입력 없음, 저장된 에너지만으로 움직이는 경우), 비동차 = 강제응답이 포함된 경우라고 이해하면 정확히 일치한다.

 

RLC 회로 포스팅 본 그 구조 그대로다.

#18. RLC 회로의 완전응답/계단응답 - 강제응답과 자연응답의 콜라보

 

풀이 도구는 아래에 있는 딱 2개.

1. 변수분리법 (Separation of Variables) — 입력이 없는 경우(자연응답) 또는 식을 \( y \)쪽과 \( t \)쪽으로 쉽게 분리할 수 있는 경우에 사용
2. 적분인자법 (Integrating Factor) — \( P(t) \)와 \( Q(t) \)가 모두 있는 일반 선형 1계 방정식에 사용

그럼 하나씩 예제 회로로 보자.

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1. 변수분리법 - 좌변은 y쪽, 우변은 t쪽

언제 쓰나?

식을 이리저리 주물러서 아래 모양으로 만들 수 있을 때 쓴다:

\( \displaystyle f(y)\, dy = g(t)\, dt \)
(식 2 - 변수분리 가능형)

좌변은 \( y \)와 \( dy \)만, 우변은 \( t \)와 \( dt \)만. 좌우를 완전히 갈라놓을 수 있다면 양변을 그대로 적분하면 끝난다.

예제: RC 자연응답

그림 1 - 충전된 커패시터가 저항으로 방전되는 RC 자연응답 회로

초기 전압이 \( V_0 \)로 충전된 커패시터가 저항을 통해 방전되는 상황이다.

 

이 회로에 KVL을 적용하면 아래와 같다.

(KVL이 기억나지 않는다면 돌아가라.)

#3. 키르히호프의 전압/전류 법칙 - 'N빵' (+ Path와 Loop)

 

\( \displaystyle RC\,\frac{dv}{dt} + v = 0 \)
(식 3 - RC 자연응답의 지배 방정식)

자, 이걸 변수분리하자.

귀찮지만 한 단계씩 따라와봐라.

Step 1. \( v \)쪽과 \( t \)쪽으로 분리

\( \displaystyle \frac{dv}{v} = -\frac{1}{RC}\, dt \)

Step 2. 양변 적분

\( \displaystyle \int \frac{1}{v}\, dv = -\frac{1}{RC} \int dt \)

\( \displaystyle \ln|v| = -\frac{t}{RC} + C_1 \)

(C₁은 적분상수)

Step 3. 지수함수로 풀어주기

\( \displaystyle v(t) = e^{C_1} \cdot e^{-t/RC} = A\, e^{-t/RC} \)

Step 4. 초기조건 \( v(0) = V_0 \) 대입

\( \displaystyle v(0) = A = V_0 \)

최종 해는 다음과 같다:

\( \displaystyle v(t) = V_0\, e^{-t/\tau}, \quad \tau = RC \)
(식 4 - RC 자연응답의 해)

\( \tau = RC \)가 바로 시정수(time constant)이다.

#15. 기본적인 RL/RC 회로 - 시정수/시상수가 뭘까?

 

RL/RC 회로 에석에서는 결과만 보여주고 넘어갔던 그 식이, 변수분리 4단계로 깔끔하게 유도된다.

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2. 적분인자법 - 억지로 미분하게 만들기

언제 쓰나?

식 1의 일반형 — 즉 \( P(t)y \)와 \( Q(t) \)가 둘 다 있는 선형 1계 방정식에서 쓴다.

변수분리로는 안 떨어진다.

핵심 아이디어

아이디어는 간단하다.

양변에 어떤 함수 \( \mu(t) \)를 곱해서, 좌변을 곱의 미분 형태로 만들어버리자는 거다.

곱의 미분 규칙 기억나는가?

\( \displaystyle \frac{d}{dt}[\mu(t)\, y] = \mu(t)\frac{dy}{dt} + \mu'(t)\, y \)

만약 식 1의 양변에 \( \mu(t) \)를 곱했을 때

\( \displaystyle \mu(t)\frac{dy}{dt} + \mu(t) P(t)\, y = \mu(t) Q(t) \)

여기서 좌변이 \( \frac{d}{dt}[\mu(t)y] \)와 같아지도록 \( \mu(t) \)를 골라주면 된다.

그러려면 \( \mu'(t) = \mu(t) P(t) \)여야 하고, 이걸 변수분리로 풀면 :

\( \displaystyle \mu(t) = e^{\int P(t)\, dt} \)
(식 5 - 적분인자의 정의)

이 \( \mu(t) \)를 적분인자(Integrating Factor)라고 부른다.

일반 공식

\( \mu(t) \)를 구한 뒤에는 양변을 적분만 하면 된다.

정리하면:

\( \displaystyle y(t) = \frac{1}{\mu(t)} \left[ \int \mu(t)\, Q(t)\, dt + C \right] \)
(식 6 - 적분인자법 일반해)

상수 \( C \)는 초기조건으로 확정한다.

이 공식 하나면 1계 선형 미분방정식은 무조건 풀린다.

공식이 조금 험해 보여도 쫌 기다려 봐라.

예제 하나 풀면 감이 온다.

예제: RL 계단응답

그림 2 - \( t=0 \)에서 전원이 인가되는 RL 직렬 회로

 

직렬 RL 회로에 \( t=0 \)에서 \( V_s \)가 인가된다. 인덕터의 초기 전류는 0이다.

KVL로 방정식을 세우면:

\( \displaystyle L\,\frac{di}{dt} + R\, i = V_s \)
(식 7 - RL 계단응답의 방정식)

양변을 \( L \)로 나누고 식 1 형태로 맞추면:

\( \displaystyle \frac{di}{dt} + \frac{R}{L}\, i = \frac{V_s}{L} \)

여기서 \( P(t) = R/L \), \( Q(t) = V_s/L \)이다.

둘 다 상수라 적분이 아주 쉽다.

Step 1. 적분인자 계산

\( \displaystyle \mu(t) = e^{\int (R/L)\, dt} = e^{Rt/L} \)
(식 8 - 적분인자)

Step 2. 식 6에 대입

\( \displaystyle i(t) = e^{-Rt/L} \left[ \int e^{Rt/L} \cdot \frac{V_s}{L}\, dt + C \right] \)

안쪽 적분은 \( \frac{V_s}{L} \cdot \frac{L}{R} e^{Rt/L} = \frac{V_s}{R} e^{Rt/L} \)이다.

(중간 치환 적분은 생략한다.)

\( \displaystyle \begin{aligned} i(t) &= e^{-Rt/L} \left[ \frac{V_s}{R} e^{Rt/L} + C \right] \\ &= \frac{V_s}{R} + C\, e^{-Rt/L} \end{aligned} \)

Step 3. 초기조건 \( i(0) = 0 \) 대입

\( \displaystyle 0 = \frac{V_s}{R} + C \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{V_s}{R} \)

최종 해:

\( \displaystyle i(t) = \frac{V_s}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R} \)
(식 9 - RL 계단응답의 해)

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3. 해의 구조 - 자연응답 + 강제응답

적분인자법으로 푼 결과 (식 9)를 다시 뜯어보자.

\( \displaystyle i(t) = \underbrace{\frac{V_s}{R}}_{\text{강제응답 } i_f} \;+\; \underbrace{\left(-\frac{V_s}{R}\right) e^{-t/\tau}}_{\text{자연응답 } i_n} \)
(식 10 - 해의 구조: 강제응답 + 자연응답)

이게 1계 선형 미분방정식의 해가 가진 고유한 구조다.

항상 두 조각으로 쪼개진다:

- 강제응답(Forced Response) \( i_f \): 입력 \( Q(t) \)가 만들어내는 정상상태 부분. 시간이 지나도 살아남는다
- 자연응답(Natural Response) \( i_n \): 지수함수 형태로 감쇠해서 0으로 사라지는 부분. 초기조건을 맞추는 역할

그림 3 - RL 계단응답의 시간 그래프: 자연응답, 강제응답, 전체응답의 중첩

\( t = 0 \)에서는 두 성분이 정확히 상쇄되어 \( i(0)=0 \), \( t \to \infty \)에서는 자연응답이 사라지고 강제응답만 남아 \( i \to V_s/R \).

초기조건에서 정상상태로의 이행을, 두 응답이 콜라보로 만들어내는 셈이다.

회로가 RL이든 RC든 RLC든, 선형 시스템이라면 해는 무조건 이 두 조각의 합이다.

 

여기까지 이해한 상태에서 RLC 회로의 완전응답을 다시 살펴보자.

더욱 농도 높은 이해가 가능할 것이다.

#18. RLC 회로의 완전응답/계단응답 - 강제응답과 자연응답의 콜라보

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4. 두 풀이법 정리 - 언제 뭘 쓸까?

친절히 요약하자면 아래와 같다.

구분	변수분리법	적분인자법
적용 조건	f(y)dy = g(t)dt 꼴로 분리 가능	1계 선형 일반형 (식 1) 모두
전형적 회로	RC/RL 자연응답 (입력=0)	RC/RL 계단응답, 사인파 입력
핵심 작업	변수 분리 → 양변 적분	적분인자 μ(t) = exp(∫P dt) 곱하기
출력 해의 형태	y = A·exp(−t/τ) (지수 감쇠)	강제응답 + 자연응답
난이도	쉬움	중 (공식 하나 외우면 끝)

(표 1 - 변수분리법과 적분인자법 비교)

 

결론은 간단하다. 입력이 0이면 변수분리, 입력이 있으면 적분인자.

이 두 줄이면 회로이론 1계 ODE는 전부 풀린다.

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다음 시간에는 한 단계 더 올라간다.

2계 미분방정식과 특성방정식 이야기다.

수식을 너무 많이 써서 머리가 아프므로 이만 줄인다.