[수학] 부분분수 분해 - 적분과 라플라스 역변환의 만능 도구

분수의 덧셈은 누구나 안다.

 

\( \displaystyle \frac{1}{s} + \frac{1}{s+1} = \frac{2s+1}{s\,(s+1)} \)

 

서로 다른 분모를 가진 분수들을 통분해 하나로 합치는 작업.

그런데 수학에선 이 과정을 거꾸로 거슬러 올라가야 할 때가 더 많다.

 

\( \dfrac{2s+1}{s(s+1)} \) 같은 복잡한 분수가 던져졌을 때, 이걸 다시 \( \dfrac{1}{s} \)와 \( \dfrac{1}{s+1} \)로 쪼개는 작업 말이다.

 

이게 바로 부분분수 분해(Partial Fraction Decomposition) 다.

발상은 단순하다.

다만 응용 범위는 의외로 넓다.

대학 미적분에서 유리함수 적분을 깔끔하게 풀 때, 신호처리·제어공학에서 전달함수의 극점을 분리할 때, 라플라스 역변환을 표 1장으로 끝낼 때까지.

분모를 인수별로 쪼개는 이 한 가지 도구가 분야를 가리지 않고 반복해서 등장한다.

오늘은 그 부분분수 분해의 원리와 실전 사용법을 정리해 보자.

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부분분수 분해는 복잡한 유리식을 더 단순한 분수들의 합으로 다시 적는 작업이며, 분해 형태는 분모의 인수 형태가 결정한다.

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그림 1 - 부분분수 분해의 개념

왜 부분분수 분해가 필요한가?

이유는 단순하다.

쪼개진 분수가 합쳐진 분수보다 다루기 쉽기 때문이다.

예를 하나 들어보자.

다음 적분을 풀고 싶다고 해보자.

 

\( \displaystyle \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx \)

(식 1 - 유리함수 적분)

 

이 상태로는 적분이 막막하다.

그런데 \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \)로 인수분해한 뒤 부분분수 분해를 거치면 다음 형태가 된다.

 

\( \displaystyle \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1} \)

(식 2 - 부분분수 분해 후)

 

이 모양에선 각 항이 \( \int \dfrac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C \)라는 기본 공식에 그대로 떨어진다.

 

\( \displaystyle \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C \)

(식 3 - 적분 결과)

 

쪼개기 전에는 못 풀던 적분이 쪼개고 나니 사칙연산처럼 풀린다.

이 원리는 라플라스 역변환에서도, 제어공학의 전달함수 분석에서도 동일하게 작동한다.

복잡한 유리식 → 부분분수 분해 → 단순 분수의 합 → 후속 처리(적분 / 역변환 / 극점 분석 등)

이 흐름의 한복판이 부분분수 분해다.

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분모의 형태가 분해 형태를 결정한다.

부분분수 분해의 첫걸음은 분모를 인수분해하는 것이다.

분모를 인수분해하고 나면, 그 인수의 모양에 따라 분해 형태가 자동으로 결정된다.

크게 세 가지 케이스가 있다.

그림 2 - 분모 형태별 분해 패턴

 

먼저 표로 한눈에 정리한 뒤 각 케이스를 살펴보자.

케이스분모 형태부분분수 분해

케이스	분모 형태	부분분수 분해
단순극	\( (s+a)(s+b) \)	\( \dfrac{A}{s+a} + \dfrac{B}{s+b} \)
중복극	\( (s+a)^2 \)	\( \dfrac{A}{s+a} + \dfrac{B}{(s+a)^2} \)
중복극 (n중)	\( (s+a)^n \)	\( \sum_{k=1}^{n} \dfrac{A_k}{(s+a)^k} \)
복소극	\( s^2 + \omega^2 \)	\( \dfrac{As + B}{s^2 + \omega^2} \)

(표 1 - 부분분수 분해 기본 패턴)

 

규칙은 단순하다.

분모에 1차 인수가 따로따로 있으면 각 인수에 상수 분자.

분모에 n중 반복 인수가 있으면 1제곱부터 n제곱까지 모두 분자에 상수.

분모에 인수분해 안 되는 2차식이 있으면 분자에 1차식.

이 세 가지가 전부다.

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① 단순극 - 가장 흔한 케이스

서로 다른 1차 인수만 분모에 있는 경우다.

실무에서 등장하는 부분분수 분해의 90%가 이 케이스에 해당한다.

일반형

분모가 \( (s+a)(s+b) \)일 때, 다음과 같이 적는다.

 

\( \displaystyle \frac{N(s)}{(s+a)(s+b)} = \frac{A}{s+a} + \frac{B}{s+b} \)

(식 4 - 단순극 분해의 일반형)

 

여기서 \( N(s) \)는 분자 다항식이며, 차수가 분모보다 낮아야 한다.

차수가 같거나 높으면 먼저 다항식 나눗셈으로 차수를 낮춰 진분수로 만든 뒤 시작한다.

계수 결정 - 커버업 방법

\( A \), \( B \)를 구하는 가장 빠른 방법은 커버업(cover-up) 방법 이다.

방법은 다음과 같다.

1. \( A \)를 구하려면, \( A \) 옆 분모 \( s+a \)에 해당하는 극점 \( s = -a \)를 식 좌변 원본에 대입한다.
2. 단, 대입할 때 \( s+a \) 항은 손가락으로 가린다(cover up).
3. 가린 채 계산한 값이 곧 \( A \)다.

식으로 쓰면 다음과 같다.

 

\( \displaystyle A = \left. \frac{N(s)}{s+b} \right|_{s = -a} \)

(식 5 - 커버업으로 A 구하기)

 

마찬가지로 \( B \)는 \( s = -b \) 대입.

 

\( \displaystyle B = \left. \frac{N(s)}{s+a} \right|_{s = -b} \)

(식 6 - 커버업으로 B 구하기)

 

이게 어떻게 가능한지는 식 4 양변에 \( (s+a) \)를 곱해 \( s = -a \)를 대입해 보면 자명하다.

직접 해봐라.

예제 - 단순극 분해 연습

다음 분수를 부분분수 분해해 보자.

 

\( \displaystyle F(s) = \frac{2s + 3}{(s+1)(s+2)} \)

(식 7 - 예제 분수)

 

분모가 서로 다른 1차 인수 두 개의 곱이니 단순극 케이스다.

 

\( \displaystyle \frac{2s + 3}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} \)

(식 8 - 분해 형태)

A 구하기 (s = -1 대입)

\( s+1 \)을 가리고 \( s = -1 \) 대입.

 

\( \displaystyle A = \left. \frac{2s + 3}{s+2} \right|_{s = -1} = \frac{-2 + 3}{-1 + 2} = \frac{1}{1} = 1 \)

(식 9 - A = 1)

B 구하기 (s = -2 대입)

\( s+2 \)를 가리고 \( s = -2 \) 대입.

 

\( \displaystyle B = \left. \frac{2s + 3}{s+1} \right|_{s = -2} = \frac{-4 + 3}{-2 + 1} = \frac{-1}{-1} = 1 \)

(식 10 - B = 1)

결과

\( \displaystyle F(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{1}{s+2} \)

(식 11 - 분해 완료)

 

검산은 우변을 다시 통분해 좌변과 일치하는지 확인하면 된다.

\( \dfrac{1}{s+1} + \dfrac{1}{s+2} = \dfrac{(s+2) + (s+1)}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{2s+3}{(s+1)(s+2)} \)

깔끔하게 들어맞는다.

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② 중복극 - 분모에 반복 인수가 있을 때

분모가 \( (s+a)^2 \), \( (s+a)^3 \) 같은 형태일 때 쓰는 패턴이다.

일반형

분모가 \( (s+a)^n \)이면, 1제곱부터 n제곱까지 모든 인수가 분해식에 나타난다.

 

\( \displaystyle \frac{N(s)}{(s+a)^n} = \frac{A_1}{s+a} + \frac{A_2}{(s+a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(s+a)^n} \)

(식 12 - 중복극 분해의 일반형)

 

왜 모든 차수를 다 적어야 하느냐 묻는다면, 그래야 분자에서 \( s \)의 모든 항을 만들 수 있기 때문이다.

\( (s+a)^2 \) 분모에 상수 \( A \) 하나만 두면, 분자에서 \( s \)에 대한 자유도가 부족해서 일반 분자를 표현할 수 없다.

계수 결정

최고차 항 \( A_n \)은 단순극처럼 커버업으로 바로 구할 수 있다.

 

\( \displaystyle A_n = \left. (s+a)^n \cdot F(s) \right|_{s=-a} \)

(식 13 - 최고차 계수 커버업)

 

나머지 \( A_1, \ldots, A_{n-1} \)은 미분 한 번 또는 미정계수법(양변 분모를 통분해 계수를 맞춤)으로 구한다.

실무에선 보통 2중극까지만 나오니 너무 겁먹지 말자.

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③ 복소극 - 인수분해 안 되는 2차식

분모에 \( s^2 + \omega^2 \), \( (s+a)^2 + \omega^2 \) 같은 형태가 나오면 그건 복소극이다.

이런 인수는 실수 범위에서 더 이상 인수분해되지 않는다.

해당 인수의 분자에는 1차식 \( As + B \)를 통째로 둔다.

 

\( \displaystyle \frac{N(s)}{s^2 + \omega^2} = \frac{As + B}{s^2 + \omega^2} \)

(식 14 - 복소극 분해의 일반형)

 

후속 처리(역변환 등)를 할 땐 분자를 둘로 쪼개 표준 형태로 맞춘다.

 

\( \displaystyle \frac{As + B}{s^2 + \omega^2} = A \cdot \frac{s}{s^2 + \omega^2} + \frac{B}{\omega} \cdot \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \)

(식 15 - 분자 쪼개기로 표준 형태 맞추기)

 

LC 회로의 진동 응답이 정확히 이 모양으로 나오는 이유다.

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라플라스 역변환에서의 활용

부분분수 분해가 가장 빛나는 곳이 라플라스 역변환이다.

지난 글 라플라스 변환의 수학적 기초 에서 봤듯, 라플라스 변환표에 등재된 분수들은 전부 단순한 모양이다.

[수학] 라플라스 변환의 수학적 기초 - 미분방정식이 곱셈으로 바뀐다고?

 

\( \dfrac{1}{s} \), \( \dfrac{1}{s+a} \), \( \dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2} \), \( \dfrac{1}{(s+a)^2} \) 같은 깔끔한 형태들.

그런데 회로 해석을 거치고 나면 십중팔구 다음 같은 못생긴 분수가 튀어나온다.

 

\( \displaystyle V_C(s) = \frac{V_s}{s\,(RCs + 1)} \)

(식 16 - RC 회로 해석에서 나온 분수)

 

표에 이런 게 있을 리가 없다.

여기서 부분분수 분해가 들어간다.

예제 - RC 회로 스텝 응답

지난 글 라플라스 기초의 식 12를 직접 풀어보자.

 

먼저 분모를 표준형 \( s+a \) 모양으로 정리한다.

\( RCs+1 \)에서 \( RC \)를 묶어내면 \( RC(s + 1/RC) \)다.

 

\( \displaystyle V_C(s) = \frac{V_s}{s \cdot RC \cdot (s + 1/RC)} = \frac{V_s/RC}{s\,(s + 1/RC)} \)

(식 17 - 분모를 표준형으로 정리)

 

이제 부분분수 분해 형태를 적는다.

 

\( \displaystyle \frac{V_s/RC}{s\,(s + 1/RC)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1/RC} \)

(식 18 - 분해 형태)

A 구하기 (s = 0 대입)

\( s \)를 가리고 \( s = 0 \) 대입.

 

\( \displaystyle A = \left. \frac{V_s/RC}{s + 1/RC} \right|_{s=0} = \frac{V_s/RC}{1/RC} = V_s \)

(식 19 - A = V_s)

B 구하기 (s = −1/RC 대입)

\( s + 1/RC \)를 가리고 \( s = -1/RC \) 대입.

 

\( \displaystyle B = \left. \frac{V_s/RC}{s} \right|_{s = -1/RC} = \frac{V_s/RC}{-1/RC} = -V_s \)

(식 20 - B = −V_s)

결과

\( \displaystyle V_C(s) = \frac{V_s}{s} - \frac{V_s}{s + 1/RC} \)

(식 21 - 부분분수 분해 결과)

 

여기서부턴 라플라스 표에서 \( \dfrac{1}{s} \to u(t) \), \( \dfrac{1}{s+a} \to e^{-at} \)를 가져다 그대로 역변환하면 끝.

 

\( \displaystyle v_C(t) = V_s\,(1 - e^{-t/RC}) \)

(식 22 - 시간 영역 응답)

 

부분분수 분해 한 단계만 끼우면 라플라스 역변환은 그저 표 조회 작업이 된다.

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정리하며

오늘 다룬 부분분수 분해의 핵심은 다음 두 가지로 압축된다.

 

첫째, 분모의 인수 형태가 분해 형태를 결정한다.

서로 다른 1차 인수면 상수 분자, 반복 인수면 모든 차수에 상수 분자, 인수분해 안 되는 2차식이면 1차 분자.

 

둘째, 계수는 커버업 방법으로 빠르게 결정된다.

극점을 식에 대입할 때 해당 인수만 가리면 끝.

 

실무에선 단순극이 90%, 중복극이 9%, 복소극이 1% 정도 비율로 나온다.

단순극과 커버업만 확실히 익혀두면 적분이든 라플라스 역변환이든 거의 다 풀린다.

이걸로 라플라스 변환을 회로에 들이댈 준비는 모두 끝났다.

 

오늘의 포스팅 끝 !