[수학] 행렬 연산 기초와 크래머 공식(Cramer's rule)

이번 포스팅에서는 은 행렬의 기본 개념, 2×2 행렬의 덧셈·곱셈·행렬식, 그리고 Cramer's rule까지 한 글에 정리한다.

미지수가 두 개인 연립방정식은 손풀이로 충분하지만, 미지수가 셋·넷으로 늘어나면 행렬 표기와 Cramer's rule이 필수다.

#5 노드 해석법과 메쉬 해석법에서 소개된 두 해석법은 미지수가 늘어날수록 행렬 표기와 Cramer's rule이 필수가 된다.

#5. 노드 해석법과 메쉬 해석법 - 회로도 번역하기

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[ 두 줄 요약 ]

행렬(Matrix)은 숫자나 기호를 직사각형 표 형태로 배열한 수학 객체이며, 연립방정식의 계수·미지수·우변을 분리해 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 한 줄로 압축할 수 있다.

Cramer's rule은 2×2 이상의 정사각 행렬 방정식에서 행렬식 비 \( x_k = D_k / D \)로 각 미지수를 직접 구하는 공식이며, 회로 해석의 노드 해석법과 메쉬 해석법에 그대로 적용된다.

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그림 1 - 연립방정식의 행렬 표현

행렬이란 무엇인가?

행렬은 숫자(또는 기호)를 직사각형 모양으로 배열한 표다.

가로 줄을 행(row), 세로 줄을 열(column) 이라 부른다.

m개 행과 n개 열을 가진 행렬을 m×n 행렬이라 한다.

오늘 다룰 2×2 행렬은 2행 2열의 정사각 행렬이다.

 

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)

(식 1 - 2×2 행렬의 일반형)

 

행렬의 (i, j) 원소는 i행 j열에 있는 값을 뜻한다.

예를 들어 식 1에서 (1, 1) 원소는 \( a \), (2, 1) 원소는 \( c \)다.

위에서 아래로, 왼쪽에서 오른쪽으로 읽는다.

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연립방정식은 어떻게 행렬로 표현하나요?

연립방정식의 계수·미지수·우변을 분리해 행렬과 벡터로 묶으면 한 줄로 압축된다.

다음 연립방정식을 보자.

 

\( ax + by = e \)

\( cx + dy = f \)

(식 2 - 일반 형태의 연립방정식)

 

이를 행렬 형태로 옮기면 다음과 같다.

 

\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\!\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \)

(식 3 - 연립방정식의 행렬 표현)

 

식 3을 보통 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)로 쓴다.

여기서 \( A \)는 계수 행렬, \( \mathbf{x} \)는 미지수 벡터, \( \mathbf{b} \)는 우변 벡터다.

벡터는 1열짜리 행렬이라 보면 된다.

식 2와 식 3은 완전히 같은 의미다.

다만 식 3 쪽이 미지수와 계수의 역할이 더 명확하게 보인다.

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행렬 덧셈과 스칼라 곱은 어떻게 할까?

연산	규칙	결과
덧셈	같은 위치 원소끼리 더한다	(a+p, b+q; c+r, d+s)
스칼라 곱	모든 원소에 같은 수를 곱한다	(ka, kb; kc, kd)

(표 1 - 행렬 덧셈과 스칼라 곱 규칙)

 

같은 차원의 두 행렬 \( A \), \( B \)를 더하는 것은 같은 위치의 원소끼리 더하는 작업이다.

 

\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+p & b+q \\ c+r & d+s \end{pmatrix} \)

(식 4 - 행렬 덧셈)

 

스칼라 곱은 행렬의 모든 원소에 같은 수를 곱하는 작업이다.

 

\( k \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix} \)

(식 5 - 스칼라 곱)

 

이 두 연산은 직관적이라 별다른 함정이 없다.

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2×2 행렬 곱셈

행렬 곱셈은 좌측 행렬의 행 벡터와 우측 행렬의 열 벡터의 내적 을 결과 행렬의 해당 위치에 채워 넣는 작업이다.

같은 위치 원소끼리 곱하는 게 아니라는 점이 핵심이다.

그림 2 - 2×2 행렬 곱셈의 구조

 

2×2 행렬 곱셈은 다음 형태다.

\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\!\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix} \)

(식 6 - 2×2 행렬 곱셈)

결과 행렬의 각 원소는 다음 규칙으로 채운다.

위치	좌측 행	우측 열	내적 결과
(1, 1)	1행 (a, b)	1열 (e, g)	ae + bg
(1, 2)	1행 (a, b)	2열 (f, h)	af + bh
(2, 1)	2행 (c, d)	1열 (e, g)	ce + dg
(2, 2)	2행 (c, d)	2열 (f, h)	cf + dh

(표 2 - 2×2 행렬 곱셈의 원소별 계산)

 

식 3에서 행렬 \( A \)와 벡터 \( \mathbf{x} \)의 곱이 우변 벡터 \( \mathbf{b} \)와 같다는 것은, 이 곱셈 규칙을 풀어 쓰면 정확히 식 2가 된다는 뜻이다.

직접 식 3의 좌변을 식 6 규칙으로 풀어보면 \( (ax+by, cx+dy)^T \)가 나온다.

이게 우변 \( (e, f)^T \)와 같다는 것은 \( ax+by = e \), \( cx+dy = f \)와 같은 말이다.

행렬 표현이 원래 연립방정식과 동치라는 사실이 여기서 확인된다.

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행렬 곱셈에서 주의할 점은?

행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.

즉, 일반적으로 \( AB \neq BA \).

연산 순서를 바꾸면 결과가 다르거나 아예 계산이 불가능할 수도 있다.

또한 좌측 행렬의 열 수 와 우측 행렬의 행 수 가 같아야만 곱셈이 정의된다.

2×2와 2×2는 곱셈이 가능하지만, 2×3과 2×2는 곱셈이 불가능하다(좌측 열 3 ≠ 우측 행 2).

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행렬식(determinant)은 어떻게 계산할까?

2×2 행렬의 행렬식은 좌상↘우하 대각선 곱에서 우상↙좌하 대각선 곱을 뺀 값이다.

 

\( \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \)

(식 7 - 2×2 행렬식의 정의)

 

행렬식은 정사각 행렬에 대응시키는 하나의 스칼라 값이다.

행렬식의 값이 0이 아니면 그 행렬은 역행렬을 가지며, 대응하는 연립방정식은 유일해를 갖는다.

반대로 행렬식이 0이면 연립방정식은 해가 없거나 무수히 많다.

이 사실이 다음에 다룰 Cramer's rule의 핵심 조건이다.

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Cramer's rule은 무엇이고 어떻게 적용하나?

Cramer's rule은 연립방정식 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)의 해 \( x \), \( y \)를 행렬식 비 \( x = D_x/D \), \( y = D_y/D \)로 직접 구하는 공식이다.

그림 3 - Cramer's rule의 워크플로우

3개의 행렬식 정의

계수 행렬 \( A \)의 행렬식을 \( D \)라 하자.

 

\( D = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \)

(식 8 - 계수 행렬식)

 

\( A \)의 1열을 우변 벡터로 치환 한 행렬의 행렬식을 \( D_x \)라 한다.

 

\( D_x = \begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix} = ed - bf \)

(식 9 - x용 행렬식)

 

마찬가지로 \( A \)의 2열을 우변 벡터로 치환 한 행렬의 행렬식을 \( D_y \)라 한다.

 

\( D_y = \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix} = af - ce \)

(식 10 - y용 행렬식)

최종 해

각 변수의 해는 다음과 같다.

 

\( x = \dfrac{D_x}{D},\qquad y = \dfrac{D_y}{D} \)

(식 11 - Cramer's rule)

 

단, \( D \neq 0 \)일 때만 유일해가 존재한다.

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예제 : Cramer's rule

다음 연립방정식을 Cramer's rule로 풀어보자.

\( 2x + 3y = 8 \), \( 5x + 4y = 13 \).

여기서 \( a=2,\ b=3,\ c=5,\ d=4,\ e=8,\ f=13 \).

단계	계산식	결과
계수 행렬식 D	(2)(4) - (3)(5)	-7
x용 행렬식 D_x	(8)(4) - (3)(13)	-7
y용 행렬식 D_y	(2)(13) - (8)(5)	-14
해 x	D_x / D = -7/-7	1
해 y	D_y / D = -14/-7	2

(표 3 - Cramer's rule 풀이 과정 요약)

 

식으로 정리하면 다음과 같다.

 

\( D = (2)(4) - (3)(5) = 8 - 15 = -7 \)

(식 12 - D 계산)

 

\( D_x = (8)(4) - (3)(13) = 32 - 39 = -7 \)

(식 13 - D_x 계산)

 

\( D_y = (2)(13) - (8)(5) = 26 - 40 = -14 \)

(식 14 - D_y 계산)

 

\( x = \dfrac{-7}{-7} = 1,\qquad y = \dfrac{-14}{-7} = 2 \)

(식 15 - 최종 해)

 

검산: \( 2(1) + 3(2) = 8 \) ✓, \( 5(1) + 4(2) = 13 \) ✓.

대입법이나 가감법으로 풀어도 같은 답이 나오지만, Cramer's rule은 각 변수를 독립적으로 뽑아낼 수 있다.

\( x \)만 필요할 때는 \( D_y \)를 계산하지 않아도 된다.

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Cramer's rule은 회로 해석에 어떻게 쓰일까?

회로 해석에서 노드 해석법과 메쉬 해석법은 정확히 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 형태의 행렬 방정식을 만들어낸다.

해석법미지수계수 행렬 원소우변 벡터

해석법	미지수
노드 해석법	노드 전압 V₁, V₂, ...	컨덕턴스 (1/R, sC 등)	전류원의 합
메쉬 해석법	메쉬 전류 I₁, I₂, ...	임피던스 (R, sL, 1/sC)	전압원의 합

(표 4 - 회로 해석법별 행렬 방정식의 구성)

특히 메쉬 해석법은 #27 라플라스로 회로 풀기의 케이스 2에서 사용했다.

#27. 라플라스로 회로 해석 - s 도메인에서의 풀이

 

각 메쉬 전류 \( I_1, I_2, \ldots, I_m \)을 미지수로 잡고 KVL을 적용한 결과는 다음 형태가 된다.

 

\( \begin{pmatrix} R_{11} & R_{12} \\ R_{21} & R_{22} \end{pmatrix}\!\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \end{pmatrix} \)

(식 16 - 2메쉬 회로의 행렬 방정식)

 

여기서 대각 원소 \( R_{ii} \)는 해당 메쉬의 모든 임피던스 합, 비대각 원소 \( R_{ij} \)는 두 메쉬가 공유하는 임피던스(부호는 메쉬 전류 방향에 따라)다.

라플라스 변환을 적용한 s 영역 회로에서도 똑같이 작동한다.

차이점은 행렬 원소가 \( R \), \( sL \), \( 1/sC \) 같은 s 함수로 바뀐다는 것뿐.

행렬 형태로 옮기고 나면 그 다음은 동일한 Cramer's rule을 적용해 각 메쉬 전류 \( I_k(s) \)를 구할 수 있다.

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정리

오늘 다룬 내용을 두 줄로 압축한다.

연립방정식은 행렬 형태 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)로 압축해 표기할 수 있고, 2×2 행렬의 곱셈·행렬식이 기본 연산이다.

Cramer's rule \( x_k = D_k / D \)는 행렬식 비로 연립방정식의 해를 직접 구하는 방법이며, 회로 해석의 노드/메쉬 해석법에 그대로 쓰인다.

미지수가 3개 이상인 회로는 3×3 행렬과 3차 행렬식이 등장하지만, 원리는 동일하다.

n×n 행렬식 계산이 복잡해질 뿐 Cramer's rule 자체는 그대로 적용된다.

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자주 묻는 질문 (FAQ)

Q1. 2×2 행렬과 2×3 행렬의 곱셈은 가능한가?

가능하다. 좌측 행렬의 열 수(2)와 우측 행렬의 행 수(2)가 같기 때문이다. 결과는 2×3 행렬이 된다. 일반적으로 m×n 행렬과 n×p 행렬을 곱하면 m×p 행렬이 나온다. 좌측의 열 수와 우측의 행 수가 일치해야 한다는 조건만 기억하면 된다.

Q2. 행렬식이 0이면 연립방정식은 어떻게 되나?

행렬식이 0이면 연립방정식은 유일해를 갖지 못한다. 두 가지 경우 중 하나다. 첫째, 식들이 모순되어 해가 전혀 없는 경우다. 둘째, 식들이 사실상 같은 직선이라 해가 무수히 많은 경우다. Cramer's rule은 이 경우 적용할 수 없으므로, 가우스 소거법이나 다른 방법을 사용해야 한다.

Q3. Cramer's rule과 대입법 중 어느 것이 더 빠른가?

미지수가 2개일 때는 대입법이 약간 빠르다. 미지수가 3개 이상이면 Cramer's rule이 체계적이고 실수가 적다. 특히 컴퓨터로 계산할 때는 Cramer's rule이 알고리즘화하기 쉬워 유리하다. 손풀이에서도 변수 하나만 필요할 때는 Cramer's rule이 더 효율적이다.

Q4. Cramer's rule을 3×3 이상에도 쓸 수 있나?

가능하다. n×n 행렬 방정식에서 각 변수의 해는 \( x_k = D_k / D \) 형태로 동일하다. 다만 행렬식 계산이 복잡해진다. 3×3 행렬식은 사뤼스 법칙(Sarrus' rule) 또는 여인수 전개로 계산한다. n이 커지면 행렬식 계산량이 급격히 늘어 가우스 소거법이 더 효율적이다.

Q5. 행렬식의 부호는 어떤 의미를 갖나?

2×2 행렬식의 절댓값은 두 열벡터가 만드는 평행사변형의 넓이다. 부호는 두 열벡터의 회전 방향을 나타낸다. 좌상→우하 방향(반시계)이면 양수, 반대면 음수다. 3×3 이상에서는 부피와 방향성을 나타낸다. 회로 해석에서는 부호 자체보다 0 여부가 중요하다.

Q6. 회로의 노드 해석법에서 왜 컨덕턴스(1/R)가 들어가나?

노드 해석법은 KCL(키르히호프 전류 법칙)을 기반으로 한다. KCL은 노드에서 전류의 합을 다룬다. 옴의 법칙 \( I = V/R = GV \)에서 전류는 컨덕턴스 G와 전압의 곱이다. 따라서 노드 방정식에 자연스럽게 컨덕턴스가 등장한다. 반면 메쉬 해석법은 KVL을 쓰므로 저항(임피던스) 자체가 행렬 원소가 된다.