#5. 노드 해석법과 메쉬 해석법 - 회로도 번역하기

내가 모르는 언어로 작성된 글을 이해할 수 있는 언어로 옮기는 것을 번역이라고 한다.
즉, 번역은 알기 쉽게 변환하는 것이다.
오늘 배워볼 노드 해석법과 메쉬 해석법은 복잡한 회로도를 쉽게 '번역'할 수 있는 기초적인 수단이다.
 
우리가 알고있는 번역은 다른 언어를 알아야한다는 점에서 아주 긴 과정이 될테지만,
회로의 번역 방법을 익히는 것은 5분이면 떡을 친다.
쇼츠 5개 볼 시간에 스크롤을 내려봐라.

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노드 해석법 (마디 해석법, Nodal Analysis)

이전 포스팅에서 키르히호프의 전압 법칙(KVL)을 설명할 때, '노드마다 특정 전압이 할당되어 있다' 라고 표현했다.
(원래는 '폐루프를 돌았을 때 변화하는 전위차의 합은 0이다'가 정확한 의미 ㅎㅎ,,)

#3. 키르히호프의 전압/전류 법칙 - 'N빵' (+ Path와 Loop)

 
사실 이는 노드 해석법의 내용이지만, 루프의 개념을 익히기 전 이해를 돕기 위한 문장으로 사용했다.
 
노드 해석법은 아래와 같이 진행된다.

① 모든 노드의 전압을 상수/변수로 놓는다. (아는 건 상수로, 모르는 건 변수로)
② 각 노드에서 KCL을 적용한 방정식을 세워라.
③ 방정식을 풀어라.

 
아주 간단하다.
 
백문이 불여일견. 바로 예시를 살펴보자.

예시 회로 1

 
이번 예시에는 종속 전류원을 넣어봤다. 예시를 한 번도 안 든 것 같아서 ㅎㅎ;
노드 해석법을 사용하여 모든 노드의 전압과 브랜치 전류를 구해보자.
(노드 3개, 브랜치 5개인 것이 보이지 않는가? 돌아가라 ↓)

#2. 회로기호 / 노드와 브랜치 (Node & Branch) - 회로의 척추

 
먼저 맨 아래 노드를 0 V로 놓고 맨 위 노드를 V1, 중앙의 노드 전압을 V2로 잡아보자.
세 저항에 옴의 법칙을 사용하면 위와 같이 된다.

예시 회로 1-1

 
이때 전류를 표현한 화살표의 방향은 마음대로 잡아도 된다.
다만, 전류는 높은 전압에서 낮은 전압으로 흐른다는 것을 명심하고 부호에 신경써라.
(V1에서 0 V로 I라는 전류가 흐른다는 것은, 0 V에서 V1으로 -I만큼의 전류가 흐른다는 말과 같다.)
 
이제 각 노드에서 KCL을 적용하여 방정식을 세워보자.
(i1 = V1 / 2라는 것에 집중하자.)
 

 
식 2개에 문자 2개. 중학교 2학년 때 배운 연립방정식 풀이를 적용해보면,
V1 = 25 V,    V2 = 35 V를 얻을 수 있다.
 
이를 바탕으로 각 노드별 전압과 전류를 분석해보면 아래와 같이 된다.

4 Ω에 흐르는 -2.5A가 거슬린다면, 아래에서 위쪽으로 2.5 A 흐른다고 생각해도 된다.
 
마지막으로 0 V 노드에서 KCL을 적용하여 우리가 구한 답이 맞는지 검산해본다.

 
완벽하다. 다음으로 넘어가자.

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메쉬 해석법 (Mesh Analysis)

설명에 앞서 메쉬 해석법은 노드 해석법과 달리 한계가 존재하는데, 이를 먼저 고지하고 시작하겠다.
메쉬 해석법은 '평면 회로'에만 적용 가능한 기법이다.
평면 회로란 말 그대로 입체적이지 않고 평면에서 구현할 수 있는 회로이다.
브랜치들끼리 겹쳐 지나가면 일반적으로 비평면회로지만, 다른 방식으로 그렸을 때 평면회로가 된다면 평면회로로 본다.
하기 예시의 우측 회로가 그 예이다.

평면 회로 예시

저게 왜 평면 회로인지 모르겠다고?
기하와 벡터를 필수적으로 배운 세대로서 자세한 설명은 생략한다.
(겹쳐지는 저항 중 한 줄을 바깥으로 빼서 연결해봐라. 평면 상에서 그릴 수 있는 회로가 될 것이다.)
그래도 모르겠다고? 운전대를 잡아 보아라. 공간지각능력이 향상될 것이다.
 
메쉬 해석법은 아래와 같이 진행하라.
 

① 회로를 독립된 루프로 나눠라.

여기서 독립이라는 말은 내부에 다른 루프를 포함하지 않는 루프를 뜻하고, 이를 메쉬(Mesh)라고 한다.
(루프가 뭔지 모르겠으면 다시 돌아가라 ↓)

#3. 키르히호프의 전압/전류 법칙 - 'N빵' (+ Path와 Loop)

 
② 각 루프마다 전류 할당 후 KVL을 사용하여 방정식을 세워라.
이때 다른 메쉬와 접하는 브랜치의 전류를 주의하라.
 
③ 방정식을 풀어라.

 
내가 적어놓고도 글만 보면 모르겠다. 위에서 해석한 예시 회로에 메쉬 해석법을 적용해보자.
먼저 ①에서 말한 '독립'된 루프로 나누기. 아래와 같이 나누면 된다.

예시 회로 1 - 메쉬 나누기

 
이후 각 루프마다 전류를 할당해보겠다.
 
아래 그림과 같이 I1, I2, I3를 할당하면 되고, 이를 '메쉬 전류'라고 칭한다.
메쉬 전류는 이름 그대로 메쉬를 순환하는 전류를 뜻한다.

예시 회로 1 - 메쉬 전류 할당

 
이제 KVL을 이용한 방정식을 세울 차례이다.
앞서 고지한대로 다른 메쉬와 접하는 브랜치의 전류를 주의하라는 말 기억나는가?
4 Ω, 1 Ω 저항과 종속 전류원은 모두 다른 메쉬들과 접하는데 이들에 흐르는 전류는 다른 메쉬간의 상관관계를 고려하여 설정해줘야 한다.
   Ex) 4 Ω 저항은 I1과 I2가 톱니바퀴처럼 맞물리는 곳에 위치한다.
   따라서 위에서 아래로 흐르는 전류를 생각해보면 I1 - I2가 된다 ↓

예시 회로 1 - 루프 사이의 브랜치를 고려한 전류 파악

 
그림에서 I1 = 10 A,    I2 = i1,    I3 - I1 = 3 i1 = 3 I2 라는 것 까지는 직관적으로 알 수 있다.
이제 I2 메쉬에 방향을 신경써가며 방정식을 세워보자.

예시 회로 1 - I2 메쉬에 KVL 적용

 
우측 하단 노드를 0 V 잡는다면,

 
여기서 위에서 위의 식들과 연립하여 방정식을 풀어본다.
I1 = 10 A를 먼저 대입하면.. 아니다. 여기서부턴 알아서 풀어라. 나는 그대가 중졸자라고 믿는다.
 
결론적으로 답은 I1 = 10 A,    I2 = 12.5 A,    I3 = 47.5 A가 된다.
각 노드별 전압이나 브랜치별 전류를 살펴보면 노드 해석법과 같은 해답이 얻어짐을 알 수 있다.

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오늘은 예시 없이 마무리하겠다.
각 해석법의 중요성이 없어서는 아니다. 오히려 매우 중요하다.
(여행갔다와서 매우 피곤함은 비밀)
특히나 노드 해석법은 회로를 공부함에 있어 매우 자주 사용하는 기법이니 반드시 익히길 바란다..!!

 

 

 

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