지난 글 에서 라플라스 변환을 회로에 들이대는 도구를 모두 깔아두었다.
#26. 라플라스 변환 - 영역전개 : t 영역에서 s 영역으로
회로 해석의 묘미는 시간 응답에 있다.스위치를 켜는 순간 콘덴서가 차오르고, 인덕터에 흐르는 전류가 서서히 자리잡고, 저항을 통해 에너지가 흩어진다.이 모든 과정을 수학으로 옮기면 미분
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R, L, C 각각의 s 영역 임피던스 \( R \), \( sL \), \( 1/sC \).
회로도 위에서 그대로 적용되는 s 영역 옴의 법칙 \( V(s) = Z(s)\,I(s) \).
그리고 RC 직렬 회로를 분압 한 줄로 풀어내는 시연까지.
그런데 회로 해석 실무에선 분압 한 줄로 끝나지 않는 회로가 훨씬 많다.
분기가 여러 개 있어 노드 해석법을 써야 하는 회로, 메쉬 두 개가 얽혀 행렬을 동원해야 하는 회로, OP-Amp가 끼어들어 피드백을 잡아야 하는 회로.
다행히 라플라스 변환의 위력은 이런 회로에서도 그대로 살아있다.
s 영역으로 일단 옮기고 나면, 직류 회로에서 쓰던 모든 해석법(노드 해석법, 메쉬 해석법, OP-Amp 이상 가정)이 그대로 통한다.
오늘은 그 다양한 회로 해석법을 라플라스 변환과 결합해 풀어본다.
[ 한 줄 요약 ]
라플라스 변환을 적용한 s 영역에서는 노드 해석법, 메쉬 해석법, OP-Amp 회로 분석 등 직류 회로에서 쓰던 모든 해석법이 그대로 작동한다.
#26 에서 다룬 표준 5단계는 오늘도 그대로 유효하다.
다만 ②단계의 "분압/KVL/KCL" 자리에 들어가는 해석법이 회로의 모양에 따라 달라질 뿐이다.
분기가 적으면 분압, 분기가 많으면 노드 해석법, 메쉬가 얽혀 있으면 메쉬 해석법, OP-Amp가 끼어들면 가상 단락 + 임피던스 비.
이 네 가지 케이스를 차례로 본다.
Case 1 : 노드 해석법의 s 영역 적용
2단 RC 저역 필터다.
입력 \( V_{in}(s) \), 출력 \( V_{out}(s) \), 중간 노드 두 개 (node 1, node 2).
C1이 R1과 R2 사이에 끼어 있어, R1-R2 단순 분압이 성립하지 않는다.
R2 입장에서 보면 C1이 부하 역할을 해서 node 1의 전압이 단순 분압 결과와 달라지기 때문이다.
이럴 땐 노드 해석법으로 푼다.
KCL을 두 노드에 적용
각 노드에서 흘러나가는 전류의 합이 0이라는 KCL을 그대로 쓴다.
s 영역에서 저항 \( R \)의 컨덕턴스는 \( 1/R \), 커패시터의 컨덕턴스는 \( sC \)다.
Node 1 KCL (R1 통한 유입 = R2 통한 유출 + C1 통한 유출):
\( \dfrac{V_{in} - V_1}{R_1} = \dfrac{V_1 - V_{out}}{R_2} + sC_1\,V_1 \)
(식 1 - Node 1 KCL)
Node 2 KCL (R2 통한 유입 = C2 통한 유출):
\( \dfrac{V_1 - V_{out}}{R_2} = sC_2\,V_{out} \)
(식 2 - Node 2 KCL)
연립으로 정리
식 2에서 \( V_1 \)을 \( V_{out} \) 함수로 정리한다.
\( V_1 = V_{out}\,(1 + sR_2 C_2) \)
(식 3 - V_1을 V_out으로 표현)
식 3을 식 1에 대입하면 \( V_{out} \)이 \( V_{in} \) 함수로 나온다.
대수적 정리를 거치면 다음과 같은 \( V_{out}/V_{in} \) 비가 나온다.
\( \dfrac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \dfrac{1}{1 + s\,(R_1 C_1 + R_2 C_2 + R_1 C_2) + s^2\,R_1 R_2 C_1 C_2} \)
(식 4 - 2단 RC 저역 필터의 출력/입력 비)
분모가 \( s^2 \)까지 가는 2차 시스템이다.
단순 분압 한 번이었다면 분자·분모에 \( s \)가 한 번씩만 들어갔을 텐데, 두 노드가 얽힌 결과 \( s^2 \) 항이 등장한다.
이게 노드 해석법이 잡아낸 회로의 진짜 거동이다.
여기서부턴 #26 에서 다룬 부분분수 분해와 라플라스 역변환을 거치면 시간 응답까지 도출된다.
Case 2 : 메쉬 해석법의 s 영역 적용
두 개의 독립 메쉬가 인덕터 \( L \)을 공유하는 회로다.
좌측 메쉬엔 \( V_{in} \), \( R_1 \), \( L \)이 있고, 우측 메쉬엔 \( L \), \( R_2 \), \( C \)가 있다.
이 회로는 노드 해석으로 풀어도 되지만, 메쉬 전류로 잡으면 식이 더 간결하다.
메쉬 전류 정의
좌측 메쉬 전류 \( I_1(s) \), 우측 메쉬 전류 \( I_2(s) \)를 모두 시계방향으로 잡는다.
공유 가지 \( L \)에 흐르는 실제 전류는 두 메쉬 전류의 차 \( I_1 - I_2 \)다 (방향에 따라).
KVL을 두 메쉬에 적용
메쉬 1 KVL (좌측 루프, 시계방향):
\( V_{in}(s) = R_1\,I_1 + sL\,(I_1 - I_2) \)
(식 5 - 메쉬 1 KVL)
메쉬 2 KVL (우측 루프, 시계방향):
\( 0 = sL\,(I_2 - I_1) + R_2\,I_2 + \dfrac{1}{sC}\,I_2 \)
(식 6 - 메쉬 2 KVL)
행렬 형태로 정리
식 5, 6을 \( I_1 \), \( I_2 \)에 대한 연립방정식으로 묶으면 다음 행렬 형태가 된다.
\( \begin{bmatrix} R_1 + sL & -sL \\ -sL & sL + R_2 + 1/sC \end{bmatrix}\!\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_{in} \\ 0 \end{bmatrix} \)
(식 7 - 메쉬 방정식의 행렬 표현)
이 형태는 직류 회로의 메쉬 해석법과 완전히 같은 구조다.
차이점은 임피던스가 \( R \) 대신 \( R + sL \), \( 1/sC \) 등으로 \( s \)를 포함한다는 것뿐이다.
Cramer's rule로 풀이
행렬식과 크래이머 공식을 적용하면 \( I_1 \), \( I_2 \)가 \( s \)의 유리식으로 나온다.
\( I_1 \)을 구하는 식의 결과는 다음 형태다.
\( I_1(s) = V_{in}(s)\cdot\dfrac{sL + R_2 + 1/sC}{(R_1 + sL)(sL + R_2 + 1/sC) - (sL)^2} \)
(식 8 - I_1 표현)
분자·분모를 정리하면 부분분수 분해로 넘어갈 수 있는 유리식이 된다.
직류 회로의 메쉬 해석에서 사용하던 모든 기법(행렬식, Cramer's rule, 가우스 소거법 등)이 그대로 통한다.
Case 3 : OP-Amp 회로의 s 영역 풀이
OP-Amp가 들어간 회로는 라플라스에서 가장 강력한 위력을 발휘하는 영역이다.
#10-1 반전/비반전 회로 글에서 다뤘던 반전 증폭기의 출력/입력 비 \( V_{out}/V_{in} = -R_f/R_{in} \)이 모든 출발점이다.
#10-1. 연산 증폭기(OP-Amp) 활용법 - 반전/비반전 회로
앞서 살펴본 연산 증폭기의 원리를 토대로 다양한 회로를 구성해볼 것이다. #9. 연산 증폭기 (OP-Amp) - 신호 돋보기오늘은 연산증폭기라고 하는 새로운 소자에 대해 알아볼 것이다.전공자들은 주
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이 공식을 s 영역으로 확장하면 다음 한 줄이 된다.
\( \dfrac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = -\dfrac{Z_f(s)}{Z_{in}(s)} \)
(식 9 - 반전 OP-Amp의 일반 출력/입력 비)
\( R_{in}, R_f \)를 \( Z_{in}(s), Z_f(s) \)로 바꿔주기만 하면 끝이다.
적분기 도출
그림 4의 회로는 \( Z_{in} = R \), \( Z_f = 1/sC \)다.
식 9에 대입한다.
\( \dfrac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = -\dfrac{1/sC}{R} = -\dfrac{1}{sRC} \)
(식 10 - 적분기의 출력/입력 비)
이게 OP-Amp 적분기다.
\( 1/s \)는 라플라스 표에서 시간 적분에 대응한다.
따라서 시간 영역에서 본 회로는 다음 동작을 한다.
\( v_{out}(t) = -\dfrac{1}{RC}\int_0^t v_{in}(\tau)\,d\tau \)
(식 11 - 시간 영역 적분 동작)
회로도 위에서 임피던스 비 한 줄로 적분기가 나왔다.
미분방정식 한 줄도 안 썼다.
미분기는 R과 C만 바꾼다
위치를 바꿔 \( Z_{in} = 1/sC \), \( Z_f = R \)로 두면 다음과 같다.
\( \dfrac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = -\dfrac{R}{1/sC} = -sRC \)
(식 12 - 미분기의 출력/입력 비)
s 곱셈은 시간 미분이므로 시간 영역에선 다음과 같다.
\( v_{out}(t) = -RC\,\dfrac{dv_{in}(t)}{dt} \)
(식 13 - 시간 영역 미분 동작)
R과 C의 위치만 바꾸면 적분기가 미분기가 된다는 사실이 식 9 한 줄에서 자동으로 도출된다.
이게 OP-Amp 회로를 s 영역에서 다루는 이유다.
Case 4 : 같은 회로, 다른 입력
지금까지 케이스 1, 2, 3에서 우리는 출력 \( V_{out}(s) \)를 입력 \( V_{in}(s) \)의 함수로 표현했다.
식 4, 식 10, 식 12를 다시 보면 모두 다음 공통 형태다.
\( V_{out}(s) = (s\text{에 관한 어떤 식}) \cdot V_{in}(s) \)
(식 14 - 회로 풀이의 공통 구조)
여기서 "\( s \)에 관한 어떤 식"은 회로의 R, L, C 값과 결선 구조에만 의존하지, 입력에는 의존하지 않는다.
즉, 입력 \( V_{in}(s) \)에 무엇을 넣든 그 부분은 그대로 남는다.
이 사실이 라플라스 회로 해석의 가장 강력한 위력으로 이어진다.
회로를 한 번 풀어서 \( V_{out}/V_{in} \) 형태로 정리해두면, 입력을 임펄스로 바꾸든 스텝으로 바꾸든 정현파로 바꾸든 풀이가 끝난 것과 다름없다는 뜻이다.
| 입력 형태 | \( V_{in}(s) \) | 응답의 이름 |
| 임펄스 \( \delta(t) \) | \( 1 \) | 임펄스 응답 |
| 단위 계단 \( u(t) \) | \( 1/s \) | 스텝 응답 |
| 램프 \( t \) | \( 1/s^2 \) | 램프 응답 |
| 정현파 \( \sin(\omega t) \) | \( \omega/(s^2 + \omega^2) \) | 정현파 응답 |
| 지수 \( e^{-at} \) | \( 1/(s + a) \) | 지수 응답 |
(표 1 - 입력 형태별 라플라스 변환과 응답 이름)
미분방정식으로 풀던 시절엔 입력 종류마다 특수해를 다시 잡아야 했다.
라플라스에선 회로의 \( V_{out}/V_{in} \) 비를 한 번 구해두고, 입력만 바꿔 끼워 어떤 응답이든 얻을 수 있다.
이 한 줄이 라플라스를 회로 해석에 들이대는 진짜 위력이다.
정리하며
오늘 다룬 라플라스 회로 풀이의 핵심은 다음 두 가지로 압축된다.
첫째, s 영역에서는 직류 회로의 모든 해석법(분압, 노드 해석법, 메쉬 해석법, OP-Amp 임피던스 비)이 그대로 작동한다.
둘째, 회로의 \( V_{out}/V_{in} \) 비를 한 번 구해두면 입력만 바꿔 끼워 임펄스·스텝·정현파 응답을 모두 얻을 수 있다.
특히 두 번째가 오늘의 가장 중요한 통찰이다.
회로의 입출력 관계가 \( s \)의 유리식 한 줄로 압축된다는 사실은, 그 한 줄에 회로의 모든 거동이 담겨 있다는 뜻이기도 하다.
이 한 줄에 정식 이름을 붙이고 그 안에 숨은 정보를 분석해 보는 작업이 다음 글의 주제다.
다음 글에선 그 유리식의 분자 근과 분모 근을 \( s \) 평면 위에 찍어보는 작업을 한다.
근의 위치 하나로 회로의 안정성·진동 주파수·감쇠율이 모두 한눈에 드러난다.
이것으로 오늘의 포스팅 끝 !
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