#25-1. 3상 회로 해석 - Y/Δ 결선 부하의 전력 계산

지난 3상 회로 입문에서는 3상이 무엇인지, 왜 단상보다 전력 전달에 유리한지 정리했다.

#25. 3상 회로 입문 - 전봇대의 전선은 왜 세 가닥일까?

 

위상 \( 120^\circ \) 차이의 사인파 세 가닥, 합이 0, Y결선과 Δ결선 두 가지 결선까지 봤다.

그런데 핵심 한 가지를 미뤄뒀다.

"그래서 3상 부하의 전력은 어떻게 계산하는가?"

 

380V 3상 모터 한 대 돌리는 데 전류가 얼마나 필요한지, 100kW 공장이 한전에서 끌어다 쓰는 선전류가 얼마인지를 모르면 회로 설계도 차단기 선정도 못한다.

오늘이 그 숙제를 푸는 날이다.

답을 미리 말하면, 평형 3상은 한 상만 풀고 ×3 하면 끝이다.

세 가닥이 동등해서 한 가닥 결과를 그대로 세 배 하면 된다.

이게 3상 해석의 트릭이고, 통합 공식 \( P_{3\phi} = \sqrt{3}\, V_L I_L \cos\theta \)도 여기서 나온다.

---

[두 줄 요약]

평형 3상 부하의 평균전력은 한 상만 풀고 ×3, 결과적으로 \( P_{3\phi} = \sqrt{3}\, V_L I_L \cos\theta \).

Y결선과 Δ결선 모두 같은 식을 쓴다.

---

평균전력 핵심 식

3상 부하의 평균전력은 세 상의 평균전력을 더한 것이다.

평형 부하라면 세 상이 모두 같은 양을 소비한다.

따라서 한 상의 평균전력 \( P_p \)를 구하고 ×3 하면 된다.

#23 AC 전력 (2)에서 본 단상 평균전력 식을 그대로 쓴다.

#23. AC 전력 (2) - 역률이 뭐길래

 

\( \displaystyle P_p = V_p\, I_p \cos\theta \)
(식 1 - 한 상의 평균전력)

 

여기서 \( V_p \)와 \( I_p \)는 RMS 값이고 \( \theta \)는 \( V_p \)와 \( I_p \) 사이의 위상차다.

세 상을 모두 더한 3상 평균전력은 다음과 같다.

 

\( \displaystyle P_{3\phi} = 3\, V_p\, I_p \cos\theta \)
(식 2 - 3상 평균전력, 상량 표현)

 

이 식이 출발점이다.

이제 결선 방식에 따라 \( V_p, I_p \)가 선간전압 \( V_L \)·선전류 \( I_L \)과 어떻게 연결되는지가 갈린다.

#25 3상 회로 입문에서 본 표 1을 다시 가져오면,

 

결선	\( V_p \)와 \( V_L \)	\( I_p \)와 \( I_L \)
Y결선	\( V_L = \sqrt{3}\, V_p \)	\( I_L = I_p \)
Δ결선	\( V_L = V_p \)	\( I_L = \sqrt{3}\, I_p \)

(표 1 - Y/Δ 결선의 전압·전류 관계)

 

식 2에 결선별 관계를 넣어 \( V_L, I_L \)로 다시 쓰면, 두 결선 모두 같은 결과가 나온다.

 

\( \displaystyle P_{3\phi} = \sqrt{3}\, V_L\, I_L \cos\theta \)
(식 3 - 3상 평균전력, 선량 표현)

 

이게 3상 해석의 통합 공식이다.

선간전압과 선전류만 알면 결선 방식과 무관하게 같은 식으로 평균전력이 나온다.

전기설비 명판에 "380V, 50A, 역률 0.85"라고만 적혀 있으면

\( P = \sqrt{3} \times 380 \times 50 \times 0.85 \approx 27.97\,\mathrm{kW} \)

가 곧바로 나오는 이유가 이거다.

---

Y결선 부하 풀이

Y결선 평형 부하 회로를 보자.

 

그림 1 - 3상 Y 평형 회로와 a상 단상 등가

 

좌측은 전체 3상 회로다.

전원과 부하 모두 Y결선이고, 중성선 N-N'으로 닫혀 있다.

평형이면 중성선 전류는 0이라 실제로는 빼도 회로가 똑같이 돈다.

세 상이 동등하니, 한 상(a상)만 떼어내 단상 회로처럼 풀 수 있다.

이게 우측 그림이다.

 

a상 단상 등가회로에서는 전원 전압이 상전압 \( \mathbf{V}_a \), 부하가 상 임피던스 \( \mathbf{Z}_p \), 도선의 전류가 선전류이자 상전류 \( \mathbf{I}_L = \mathbf{I}_p \)다.

풀이 절차는 다섯 단계다.

 

Step 1. 선간전압 \( V_L \)에서 상전압 \( V_p \) 구하기

\( \displaystyle V_p = \frac{V_L}{\sqrt{3}} \)
(식 4 - Y결선 상전압)

 

Step 2. a상 페이저 표기

\( \mathbf{V}_a = V_p \angle 0^\circ \) (RMS 값으로 표기)

 

Step 3. 옴의 법칙으로 상전류 = 선전류

\( \displaystyle \mathbf{I}_L = \mathbf{I}_p = \frac{\mathbf{V}_a}{\mathbf{Z}_p} \)
(식 5 - Y결선 선전류)

 

Step 4. 한 상의 평균전력 \( P_p = V_p I_p \cos\theta \) 계산

 

Step 5. 3상 평균전력 \( P_{3\phi} = 3 P_p \)

---

Y결선 숫자 예제

조건을 다음과 같이 두자.

• 전원: 선간전압 \( V_L = 380\,\mathrm{V} \), 60Hz, Y결선
• 부하: 평형 Y결선, 상 임피던스 \( \mathbf{Z}_p = 10 + j5\,\Omega \)/상

Step 1. 상전압

\( V_p = 380 / \sqrt{3} \approx 219.4\,\mathrm{V} \)

Step 2. a상 페이저

\( \mathbf{V}_a = 219.4 \angle 0^\circ\,\mathrm{V} \)

Step 3. 임피던스 크기와 위상각

\( |\mathbf{Z}_p| = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} \approx 11.18\,\Omega \)
\( \theta = \tan^{-1}(5/10) \approx 26.57^\circ \)

Step 4. 선전류

\( \displaystyle \mathbf{I}_L = \frac{219.4 \angle 0^\circ}{11.18 \angle 26.57^\circ} \approx 19.62 \angle -26.57^\circ\,\mathrm{A} \)
(식 6 - Y결선 예제 선전류)

 

선전류 크기 \( I_L \approx 19.62\,\mathrm{A} \), 전압 대비 \( 26.57^\circ \) 뒤처진다 (인덕성 부하)

 

Step 5. 3상 평균전력 — 통합 공식 식 3 사용

\( \displaystyle P_{3\phi} = \sqrt{3} \times 380 \times 19.62 \times \cos(26.57^\circ) \approx 11.55\,\mathrm{kW} \)
(식 7 - Y결선 예제 평균전력)

 

검산: 한 상 평균전력 \( P_p = V_p I_p \cos\theta = 219.4 \times 19.62 \times 0.894 \approx 3.85\,\mathrm{kW} \), \( \times 3 = 11.55\,\mathrm{kW} \)

 

두 식이 같은 값을 준다.

---

Δ결선 부하 풀이

Δ결선은 부하 자체가 삼각형이라 중성점이 없다.

대신 한 변에 임피던스 \( \mathbf{Z}_p \)가 걸리고, 한 변의 전류가 상전류 \( \mathbf{I}_p \), 도선 전류가 선전류 \( \mathbf{I}_L \)이다.

그림 2 - Δ 평형 부하의 상전류와 선전류 관계

 

두 전류가 다르다는 점이 Y결선과의 핵심 차이다.

상전류 \( \mathbf{I}_p \)는 부하 한 변에 흐르고, 선전류 \( \mathbf{I}_L \)은 두 상전류의 페이저 차로 결정된다.

페이저 뺄셈 결과 크기는 \( \sqrt{3} \)배가 된다.

풀이 절차도 다섯 단계다.

 

Step 1. Δ결선은 \( V_L = V_p \), 즉 선간전압이 그대로 한 변에 걸린다

Step 2. a-b 변 페이저: \( \mathbf{V}_{ab} = V_L \angle 0^\circ \)

Step 3. 옴의 법칙으로 상전류 (한 변에 흐르는 전류)

\( \displaystyle \mathbf{I}_p = \frac{\mathbf{V}_{ab}}{\mathbf{Z}_p} \)
(식 8 - Δ결선 상전류)

 

Step 4. 선전류 크기는 상전류의 \( \sqrt{3} \)배

\( \displaystyle |\mathbf{I}_L| = \sqrt{3}\, |\mathbf{I}_p| \)
(식 9 - Δ결선 선전류 크기)

 

Step 5. 3상 평균전력은 식 3 그대로

\( P_{3\phi} = \sqrt{3}\, V_L I_L \cos\theta \)

---

Δ결선 숫자 예제

같은 임피던스를 Δ결선으로 바꿨을 때 어떻게 달라지는지 보자.

• 전원: 선간전압 \( V_L = 380\,\mathrm{V} \) (동일)
• 부하: 평형 Δ결선, 상 임피던스 \( \mathbf{Z}_p = 10 + j5\,\Omega \)/상 (동일)

Step 1. 한 변에 걸리는 상전압

\( V_p = V_L = 380\,\mathrm{V} \)

Step 2. 상전류 크기

\( |\mathbf{I}_p| = 380 / 11.18 \approx 33.99\,\mathrm{A} \)

Step 3. 선전류

\( \displaystyle |\mathbf{I}_L| = \sqrt{3} \times 33.99 \approx 58.87\,\mathrm{A} \)
(식 10 - Δ결선 예제 선전류)

 

Step 4. 3상 평균전력

\( \displaystyle P_{3\phi} = \sqrt{3} \times 380 \times 58.87 \times 0.894 \approx 34.64\,\mathrm{kW} \)
(식 11 - Δ결선 예제 평균전력)

 

같은 임피던스인데 Y결선의 \( 11.55\,\mathrm{kW} \)에 비해 정확히 3배다.

이유는 단순하다.

Δ결선에서는 한 변에 \( \sqrt{3} \)배 큰 전압(선간전압 380V)이 걸리고, 따라서 상전류도 \( \sqrt{3} \)배 커지고, 한 상의 전력은 \( (\sqrt{3})^2 = 3 \)배가 된다.

같은 부하를 Y결선으로 묶을지 Δ결선으로 묶을지에 따라 흡수 전력이 3배 차이가 나는 것이다.

대형 모터의 Y-Δ 기동(처음에는 Y로 약하게 돌렸다가 Δ로 전환)이 바로 이 성질을 활용한다.

---

마무리

오늘은 평형 3상 부하의 전력 계산을 정리했다.

평형 부하면 한 상만 풀고 ×3, 결과적으로 \( P_{3\phi} = \sqrt{3}\, V_L I_L \cos\theta \).

Y결선과 Δ결선 모두 같은 식을 쓰지만, 같은 임피던스라도 결선이 다르면 전력이 3배 차이가 난다.

이로써 AC 회로 해석은 마무리된다.

 

다음은 아마 라플라스 변환에 대해 다룰 예정인데..

선행 지식이 필요한 부분이라 포스팅 순서를 잘 조절해봐야겠다.

이상으로 오늘의 포스팅 끝 ~