#9. 델타-와이 (Δ-Y) 변환 및 증명 - 병렬도, 직렬도 아니라고?

이번 포스팅의 주제는 델타-와이 (Δ-Y) 변환이다.
제목에서 유추할 수 있듯 병렬과 직렬이 아닌 소자 결선 방법으로 전자공학도라면 가끔, 전기공학도라면 자주 사용할 일이 생기는 결선 방법이다. 긴 말 없이 바로 살펴보자.

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델타-와이 (Δ-Y) 결선

Δ결선과 Y-결선

 
먼저 델타(Δ) 형태와 와이(Y) 형태의 결선(소자를 접속하는 방식)은 위 사진과 같다.
문자 형태 그대로 소자를 배치하여 연결한 모양이다.
직렬도 아니고 병렬도 아닌 것이 특이한 형태를 띄고 있다.
필자는 개인적으로 델타 결선은 노드를 공유하는 병렬, 와이 결선은 브랜치로 이어진 직렬 느낌으로 받아드리고 있다.
 
복잡한 연결 방식의 회로에서 델타 결선을 와이 형태로 변환하면 계산이 편리한 경우가 많다.
특히 대칭적인 회로나 추후 나오는 3삼 전력 시스템에서 유용하게 쓰인다.
본 결선 방식의 변환에 대해 자세히 알아보자.

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델타-와이 (Δ-Y) 변환

델타-와이 변환이란 위에서 살펴본 델타 결선에서 그와 등가한 와이 결선으로의 변환, 또는 그 역을 뜻한다.
델타-와이 결선 간의 상호 변환은 아래 식을 따른다.

델타(Δ) → 와이(Y)

Δ에서 Y로 변환

 
상술한 델타는 병렬 느낌이라고 한 멘트가 떠오르는가?
병렬 연결된 저항을 하나의 직렬 저항으로 바꿀 때, 합 분의 곱이라는 공식을 사용했었다.

#4. 직렬 연결과 병렬 연결 - 릴레이와 트랙

병렬과 유사한 결선인 델타 결선을 유사 직렬 결선 와이 결선으로 변환할 때 역시 합 분의 곱을 떠올리면 편하다.

와이(Y) → 델타(Δ)

Y에서 Δ로 변환

 
반대로 와이 결선을 델타 결선으로 변환할 경우의 등가 저항은 위 식과 같다.
필자는 곱의 합 / 저항 하나로 연상하고 있다.

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델타-와이 (Δ-Y) 변환 증명

사실 이 과정은 선택사항이다.
독자들에게 변환 과정의 증명 과정을 왠만하면 요구하지는 않겠으나 여태 배운 내용을 복습하는 데에는 의미가 있다.
이 증명법을 이해하려면 먼저 테브난/노턴 등가회로에서 설명한 '저항 바라보기'라는 개념을 이해할 필요가 있다.
(자세한 설명은 아래 포스팅을 참조하라 ↓)

#7. 테브난/노턴 등가회로 - 위정척사

 
 
먼저 노드 Z가 없다고 가정하고 X와 Y노드만 살펴보자.
(이때, 없다고 가정한다는 것은 해당 노드에서 추가적인 연결이 없다고 가정한다는 것이다.)

X,Y노드만 남겨놓기

 
등가회로란 전기적 성질이 동일한 회로로 바꾸는 것이므로 각 노드에서 바라본 저항값이 같다는 것에서 시작한다.
 
델타 결선의 X와 Y노드에서 회로를 바라본다면, Ra와 Rb가 직렬 연결되고, 그것과 Rc가 병렬 연결 되었다고 볼 수 있다.
반면 와이 결선의 X와 Y노드에서 회로를 바라본다면, R3에는 전류가 흐르지 않을 것이므로 R1과 R2만이 직렬로 연결되었다고 볼 수 있다.

식 1

마찬가지로 (Y,Z) 노드에서 바라보았을 때와 (Z,X) 노드에서 바라보았을 때, 두 결선 모두 같은 저항이 보여야하므로 식을 세워보면 아래와 같다.

식 2

식 3

 
문자 6개인 상태에서 방정식 3개를 얻었으므로 세 문자간의 관계식을 알 수 있게 된 것이다 !
 
해당 식을 깔~끔하게 정리한다면 델타 저항을 와이 저항으로, 또는 그 역을 구할 수 있다.
계산 과정을 다 적으면 식으로 포스팅이 더럽혀 질 것 같아서 생략한다.
사실 중학 수학 내용이므로 그대들도 충분히 할 수 있을 것이라 기대한다.
절대 귀찮은 것이 아니다.